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Beweis für die Ableitung von cot(x)

Beweis, dass -1/sin(x) die Ableitung des Cotangens ist, wenn sin(x) ≠ 0.

Herleitung und Beweis

Aus der Definition der Cotangens-Funktion wissen wir, dass sich cot(x) auch mithilfe des Tangens ausdrücken lässt. Daher ist:

cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x).

Wir wissen auch, dass Cosinus die Ableitung des Sinus ist und das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist. Daraus folgt:

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cot(x) \;\,&= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \;\frac{1}{\tan(x)}\;\;=\;\; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \;\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\\[3ex] &= \frac{\big(\cos(x)\big)^\prime\cdot\sin(x)-\cos(x)\cdot\big(\sin(x)\big)^\prime}{\big(\sin(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{-\sin(x)\cdot\sin(x)-\cos(x)\cdot\cos(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-\left (\sin^2(x)+\cos^2(x) \right )}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{-1}{\sin^2(x)}\qquad\blacksquare

Erklärung

  1. cot(x) mithilfe anderer trigonometrischer Funktionen ausdrücken.
  2. Der resultierende Bruch kann mit der Qutientenregel abgeleitet werden.
  3. Gemäß der Ableitung von sin(x) und der Ableitung von cos(x) können wir die Quotientenregel anwenden.
  4. Faktoren zusammenfassen.
  5. Eine wichtige trigonometrische Identität besagt, dass sin²(x) + cos²(x) = 1 ist.
  6. Q.E.D.