Beweis für die Ableitung von cot(x)
Beweis, dass -1/sin(x) die Ableitung des Cotangens ist, wenn sin(x) ≠ 0.
Herleitung und Beweis
Aus der Definition der Cotangens-Funktion wissen wir, dass sich cot(x) auch mithilfe des Tangens ausdrücken lässt. Daher ist:
Wir wissen auch, dass Cosinus die Ableitung des Sinus ist und das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist. Daraus folgt:
Erklärung
- cot(x) mithilfe anderer trigonometrischer Funktionen ausdrücken.
- Der resultierende Bruch kann mit der Qutientenregel abgeleitet werden.
- Gemäß der Ableitung von sin(x) und der Ableitung von cos(x) können wir die Quotientenregel anwenden.
- Faktoren zusammenfassen.
- Eine wichtige trigonometrische Identität besagt, dass sin²(x) + cos²(x) = 1 ist.
- Q.E.D.