Quotientenregel

Die Quotientenregel in der Differenzialrechnung ist eng verwandt mit der Produktregel.

Will man den Quotienten zweier Funktionen ableiten, gilt folgendes:

Definition

\( \large{ \Bigg[ \dfrac{u(x)}{v(x)}\Bigg ]^\prime \;=\; \dfrac{u^{\prime}(x)\cdot v(x) – u(x)\cdot v^{\prime}(x)}{\big(v(x)\big)^2}, \quad v(x) \neq 0 } \)

Beispiel

Folgende Funktion soll abgeleitet werden:

\( \begin{align} f(x) &= \dfrac{x^2}{\sin(x)} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= \dfrac{\left ( x^2 \right )’\cdot \sin(x) – x^2\cdot \big( \sin(x) \big)^{\prime}}{\big(\sin(x)\big)^2} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= \dfrac{2x\cdot \sin(x) – x^2\cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} \end{align} \)

Dies lässt sich wieder auch im Einzelnen zeigen:

\( \begin{align} f(x) &= \dfrac{x^2}{\sin(x)} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= \left( x^2 \cdot \dfrac{1}{\sin(x)} \right)^{\prime} = 2x \cdot \dfrac{1}{\sin(x)} + x^2 \cdot \left( \dfrac{1}{\sin(x)} \right)^{\prime} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= 2x \cdot \dfrac1{\sin(x)} + x^2 \cdot \left( – \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\right) \\[2ex] &= \boxed{\dfrac{2x\cdot\mathrm{sin}(x) -{x}^{2}\cdot\mathrm{cos}(x) }{{\sin( x) }^{2}}} \end{align} \)

Merkhilfe für die Quotientenregel

Oft kommt man in die Situation die Quotientenregel auswendig lernen zu müssen. Zwar könnte man sich die Regel herleiten, allerdings ist dies in Situation mit mangelnder Zeit nicht wirklich machbar. Anstatt sich die Regel mit den Funktionsbezeichnungen f(x) und g(x) zu merken, kann man sich die Funktionen als Erste (Zähler) und Zweite (Nenner) vorstellen. Dann ergibt sich folgendes Bild:

\( \left [\dfrac{(\mathrm{Erstes})}{(\mathrm{Zweites})} \right ]^\prime = \dfrac{\obrace[\text{Entspricht der Produktregel, wenn + statt -}]{(\mathrm{Erstes})’\cdot (\mathrm{Zweites})-(\mathrm{Erstes})\cdot (\mathrm{Zweites})^{\prime}}}{(\mathrm{Zweites})^2} \)

Der Zähler der Quotientenregel entspricht im Prinzip der Produktregel, nur das die Quotientenregel ein Minuszeichen dort hat, wo die Produktregel ein Pluszeichen hat. Man erkennt ein gewisses Muster: zuerst wird der das Erste abgeleitet, multipliziert mit dem Zweiten subtrahiert von dem Zweiten mutipliziert mit der Ableitung des Ersten. Das Ganze wird noch durch das Quadrat des Zweiten geteilt.

Herleitung und Beweis

Auch wenn die meisten Schulbücher die Quotientenregel als eigenständige Regel führen, so lässt sie sich vollständig auf die Produktregel zurückführen.

\( \begin{align*} f(x) &= \dfrac{u(x)}{v(x)} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= \left( u(x) \cdot \dfrac{1}{v(x)} \right)^{\prime} \;\;=\;\; u^{\prime}(x) \dfrac{1}{v(x)} \;+\; u(x) \left( \dfrac{1}{v(x)} \right)^{\prime} \\[2ex] f^{\prime}(x) &= u^{\prime}(x) \cdot \dfrac1{v(x)} \;+\; u(x) \cdot \left( – \dfrac{v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\right) \\[2ex] &= \boxed{\dfrac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{v^2(x)}}\quad\blacksquare \end{align*} \)

Neben dieser Herleitung durch die Produktregel, existieren noch weitere mathematische Herleitungen für die Quotientenregel. Bekannte alternative Herleitungen umfassen eine Herleitung mit der Kettenregel und eine Herleitung mittels logarithmischer Ableitung.

Erklärung

f(x) wird definiert als Quotient der Funktionen u(x) und v(x)
Mithilfe der Produktregel wird die Funktion abgeleitet; der Kehrwert der Funktion v(x) kann nach der Kehrwertregel abgeleitet werden

Vereinfachen und zusammenfassen
Die Quotientenregel, wie sie gewöhnlich geschrieben wird