Lineare Algebra

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade. Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum lässt sich einfach über den Satz des Pythagoras berechnen, wie wir in diesem Artikel sehen werden.

{def}

Der Abstand d zwischen zwei Punkten A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂) wird berechnet durch folgende Formel:

{tex bigger parse}d=sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2){/tex}

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) ist eine Operation, die auf zwei Vektoren angewendet wird. Das Ergebnis eines Kreuzproduktes ist ein neuer Vektor der lotrecht zu den beiden Ausgangsvektoren ist. Das Kreuzprodukt hat viele Anwendungen in der Mathematik, Physik und den Ingenieurwissenschaften.

Lineare Unabhängigkeit bzw. lineare Abhängigkeit macht eine Aussage darüber, ob ein Vektor als lineare Kombination einer der anderen ausgedrückt werden kann.

{def}

Sei S eine Menge von Vektoren im Vektorraum V

{tex}S = \left \{ \vec{\textbf{v}}_1, \vec{\textbf{v}}_2, ...\,, \vec{\textbf{v}}_k\right \}{/tex}

dann hat die Vektorgleichung

{tex}c_1\cdot \vec{\textbf{v}}_1 + c_2\cdot \vec{\textbf{v}}_2+\cdots +c_k\cdot \vec{\textbf{v}}_k = 0{/tex}

Auch wenn die Mengenlehre noch ein relativ junges Gebiet der Mathematik ist, so finden sich ihre Einflüsse in vielen anderen Teildisziplinien, wie beispielsweise in der Stochastik bei der Verknüpfung von Ereignissen. Dieser Artikel gibt einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Schreibweisen von Mengen.

Die Potenzmenge einer Menge X ist eine Menge aus allen Teilmengen von X, inklusive der leeren Menge (Ø).

{def}

Ist X eine beliebige Menge, dann ist die Potenzmenge von X, geschrieben als {tex}\mathcal{P}(X){/tex}, eine Menge, deren Elemente alle Teilmengen von X sind.

{/def}

In der linearen Algebra und der analytischen Geometrie ist häufig nach dem Winkel zwischen zwei Vektoren gefragt. 

{def}

Seien u und v zwei Vektoren in {tex inline}\mathbb{R}^n{/tex}, dann ist der Kosinus des Winkels θ zwischen den beiden Vektoren definiert als:

{tex big}\cos(\theta ) = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\left | \mathbf{u} \right |\cdot \left | \mathbf{v} \right |}{/tex}