MatheGuru Logo

Determinante

Die Determinante ist ein Wert der für eine quadratische Matrix (auch Quadratmatrix, n Zeilen und n Spalten) berechnet werden kann. Die Determinante wird vor allem in der linearen Algebra in vielen Gebieten angewendet, wie beispielsweise zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, dem Invertieren von Matrizen oder auch bei der Flächenberechnung.

Schreibweise

Es gibt verschiedene Schreibweisen für die Determinante. Sie kann als Funktion geschrieben werden, wobei die Matrix der Parameter der Funktion ist. Alternativ können auch senkrechte Striche (Betragsstriche) um eine Variable (die eine Matrix definiert) oder die Matrix selbst geschrieben werden.

Determinante einer 2x2 Matrix

Definition

Die Determinante einer 2×2 Matrix , geschrieben als |A| oder det(A), wird wie folgt berechnet:

Determinante einer 3x3 Matrix

Definition

Die Determinante einer 3×3 Matrix , geschrieben als |A| oder det(A), wird wie folgt berechnet:

Die Determinante einer 3×3 Matrix lässt sich sich so umschreiben, dass drei 2×2 Matrizen entstehen, deren Determinante wiederrum berechnet werden muss:

Satz des Sarrus

[video=325*185 hr]determinante-3x3[/video]Die Regel des Sarrus (auch Sarrus'sche Regel oder Jägerzaun-Regel) ist eine einfache Merkregel für 2×2 und 3×3 Matrizen. Für 3×3 Matrizen haben wir die Regel des Sarrus in der Animation rechts grafisch veranschaulicht. Für 2×2 verläuft die Regel ganz ähnlich, allerdings entsprechend der Größe der Matrix auch wesentlich einfacher:

Dieses Schema für die Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix ist nicht anwendbar auf größere (n > 3) Matrizen.

Anwendungsmöglichkeiten

Die Determinante wird (in der Oberstufe) am häufigsten für folgende Berechnung verwendet:

  • Das Lösen eines linearen Gleichungssystems (Cramer'sche Regel, auch Determinantenregel genannt)
  • Der Berechnung der Fläche einer Dreiecks bzw. eines Parallelogramms, das durch drei Punkte im Raum aufgespannt wird
  • Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds (ein schiefer Quader)
  • Nachweis ob eine Matrix invertierbar ist. Dies ist der Fall wenn det(A) ≠ 0
  • Überprüfen, ob Vektoren linear unabhängig voneinander sind (daher: wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear abhängig. Wenn sie nicht parallel zueinander sind, dann sind sie linear unabhängig)

Determinante einer n×n Matrix

Für Matrizen, die mehr als 3 Zeilen und Spalten haben, gibt es keine einfache Formel, wie bei kleineren Matrizen. Allgemein gibt es aber zahlreiche Verfahren, um die Determinante zu berechnen. Das Verfahren, das wir hier vorstellen, heißt Laplace'scher Entwicklungssatz.

Durch den Laplace'schen Entwicklungssatz werden größere Matrizen so umgeschrieben, dass eine Reihe von kleineren entstehen, die eine Zeile und eine Spalte kleiner sind. Genauer gesagt entstehen aus einer n×n-Matrix n Matrizen mit den Dimensionen (n-1)×(n-1).

Als erstes wird eine Zeile bzw. Spalte ausgewählt, von der aus gestartet wird. Mögliche Kandidaten sind die blauen Terme (siehe Matrix links). Die komplette Zeile und Spalte in der sich dieser Term befindet wird entfernt und der Term als Faktor genommen. Bei Zeilen wird dieses Muster fortgeführt indem der nächste, rechte Term genommen wird, bei Zeilen der nächste untere. Entsprechend der Wahl der Zeile und Spalte, muss der Faktor eventuell noch mit -1, entsprechend der Abbildung rechts, multipliziert werden. Hier ein Beispiel:

Wir hätten statt einer Spalte auch eine Zeile wählen können:

Der Laplace'sche Entwicklungssatz kann stark vereinfacht werden, wenn nicht eine Zeile oder Spalte willkürlich, sondern die Zeile bzw. Spalte mit den meisten 0, gewählt wird. Da die Zahlen der Zeile bzw. Spalte mit den Determinanten der entstehenden Matrizen multipliziert werden, bedeutet eine Null als Faktor automatisch, dass die Determinante nicht berechnet werden muss, da das Produkt Null sein wird.

Beispiel #1 einer 4x4 Matrix (allgemein)

Bei einer 4×4 Matrix, funktioniert das System analog zu der Art, wie die 3×3 Matrix berechnet wird. Dabei wird die 4×4 Matrix in 4 3×3 Matrizen aufgeteilt. Die Terme der ersten Reihe der 4×4 Matrix werden als Faktoren der vier Matrizen verwendet. Die +, -, +, verbinden die einzelnen Terme gemäß der Auswahl der Zeile bzw. Spalte nach dem Diagramm oben.

Beispiel #2 einer 4x4 Matrix

Gegeben ist folgende Matrix A:

Da die Determinante dieselbe ist, egal welche Zeile oder Spalte wir wählen, sollten wir die Zeile bzw. Spalte wählen, welche die meisten 0 hat. Bei unserer Matrix A, ist dies der Fall bei der zweiten Spalte, die drei mal die 0 enthält.

Daraus ergibt sich:

Eigenschaften von Determinanten

Seien A und B zwei n×n Matrizen und α eine reelle Zahl, dann gilt:

  • det(α · A) = αn · det(A)
  • det(AT) = det(A)
  • wenn A eine Zeile oder eine Spalte bestehend aus 0 hat, dann ist det(A) = 0
  • wenn A zwei gleiche Zeilen oder Spalten hat, dann gilt det(A) = 0
  • wenn A eine Zeile (oder Spalte) hat, die ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) ist, dann ist det(A) = 0
  • det(A · B) = det(A) · det(B)
  • Bei Vertauschung einer Zeile (oder Spalte) wechselt das Vorzeichen der Determinante

Erklärung mit Beispielen

  1. Die Determinante der Beispielmatrix ist 24. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 6, 12, 2 und 8 ist 2. Daher kann man 2 aus allen Termen der Matrix faktorisieren: . Die Determinante der faktorisierten Matrix ist: . Demnach gilt auch: .
  2. Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante.
  3.  Dies gilt für alle Zeilen und Spalten.
  4.   Dies gilt für alle Zeilen und Spalten.
  5. Determinanten sind multiplikativ.
  6.  und  ,
    aber:  , da die Zeile zwei Mal vertauscht wurde, änderte sich ihr Vorzeichen auch zweimal. Daher (-1) · (-1) = 1, wir sind wieder beim ursprünglichen Vorzeichen.

Determinanten-Rechner

Dimensionen
4×4
Matrix

Ergebnis

$$\Large{\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = } $$