Potenzmenge

Die Potenzmenge einer Menge X ist eine Menge aus allen Teilmengen von X, inklusive der leeren Menge (Ø).

Definition

Ist X eine beliebige Menge, dann ist die Potenzmenge von X, geschrieben als \mathcal{P}(X), eine Menge, deren Elemente alle Teilmengen von X sind.

Eigenschaften

  1. Ist X eine endliche Menge (daher: ist die Anzahl der Elemente von X zählbar), dann besteht die Potenzmenge von X aus 2|x| Elementen. Daher: |\mathcal{P}(X)| = 2^{|X|}
  2. Für eine beliebige Menge X gilt nach Cantor (Begründer der Mengenlehre), dass die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge von X immer größer ist, als die Anzahl der Elemente in der Ausgangsmenge X. Daher |\mathcal{P}(X)| > {|X|}

Beispiel

Sei X eine Menge, die wie folgt definiert ist: X = {x, y, z}. Dann besteht die Potenzmenge \mathcal{P}(X) aus folgenden Elementen:

  1. Ø
  2. {x}
  3. {y}
  4. {z}
  5. {x, y}
  6. {x, z}
  7. {y, z}
  8. {x, y, z}

}\mathcal{P}(X) \;=\; \left\{\varnothing, \left \{ x \right \}, \left \{y}{  \right \}, \left \{ z \right \}, \left \{x, y}{  \right \}, \left \{x, z}{  \right \}, \left\{ y, z \right\}, \left \{x, y, z}{  \right \}\vphantom{2^2^2}\right\}

Wie man sehen kann, enthält die Menge, wie erwartet,  23 = 8 Elemente

Verwandtschaft mit dem Binominialkoeffizienten

Die Potenzmenge ist verwandt mit mit dem Binomialkoeffizienten. Die Anzahl der Mengen mit k Elementen in der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen ist gleich dem Binominialkoeffizient \binom{k}{n}. Die Menge aus unserem Beispiel hat somit:

  • \binom{3}{0}\;=\;1 Menge mit 0 Elementen (leere Menge)
  • \binom{3}{1}\;=\;3 Mengen mit 1 Element
  • \binom{3}{2}\;=\;3 Mengen mit 2 Elementen
  • \binom{3}{3}\;=\;1 Menge mit 3 Elementen

Potenzmenge mit eingeschränkter Kardinalität

Oft will man allerdings nicht alle möglichen Kombinationen bestimmen, sondern nur solche Teilmengen, die eine bestimmte Anzahl von Elementen haben. Mit \mathcal{P}_{\kappa}(X) wird die Menge der Teilmengen von X bezeichnet, die weniger als \kappa Elemente enthalten.

  • \mathcal P_3(X) = \left\{\varnothing, \left \{ x \right \}, \left \{y}{  \right \}, \left \{ z \right \}, \left \{x, y}{  \right \}, \left \{x, z}{  \right \}, \left\{ y, z \right\}\vphantom{2^2^2}\right\}
    Man beachte, dass die Menge X selbst fehlt, da Sie mit insgesamt 3 Elemente, nicht weniger als 3 Elemente enthält.

Will man dagegen eine Menge aus Teilmengen, die nur eine bestimmte Anzahl von Mengen enthalten, so schreibt man:

  • \{ U \subseteq X : |U| = 1 \} \;=\; \left\{ \left \{ x \right \}, \left \{y}{  \right \}, \left \{ z \right \}\vphantom{2^2^2}\right\}
  • \mathcal P_2(X) \setminus \mathcal P_1(X)\;=\; \left\{ \left \{ x \right \}, \left \{y}{  \right \}, \left \{ z \right \}\vphantom{2^2^2}\right\}

Weiterführende Literatur

  1. Arens, T., Busam, R., Hettlich, F., Karpfinger, C., Stachel, H., & Lichtenegger, K. (2012). Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen: Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. Dordrecht: Springer.
  2. Gediga, G., & Holling, H. (2013). Statistik - Wahrscheinlichkeitstheorie und Schätzverfahren. Bachelorstudium Psychologie. Göttingen [u.a.]: Hogrefe.
  3. Kohn, W. (2005). Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Statistik und ihre Anwendungen. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.