Produktregel

Die Produktregel (auch Leibnitz-Regel genannt) ist oft die erste komplexere Regel, die beim Ableiten gelehrt wird. Sie gilt für Funktionen, die aus zwei oder mehr Produkten bestehen.

Will man beispielsweise die Funktion f(x) die aus den Funktionen u(x) und v(x) besteht ableiten, so würde man zuerst u(x) ableiten, diesen Term mit v(x) multiplizieren, dann v(x) ableiten und diesen mit u(x) multiplizieren. Die beiden neu entstandenen Produkte werden addiert:

\( \large{ f(x) = u(x)\cdot v(x) \quad\Rightarrow\quad f^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v^{\prime}(x) } \)

Herleitung und Beweis

\( \begin{align*} f(x) &= u(x)\cdot v(x) \\ f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h} \\ f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x) \obrace[0]{+u(x+h)\cdot v(x)-u(x+h)\cdot v(x)}}{h} \\ f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{u(x+h)\cdot \left [ v(x+h)-v(x) \right ] + v(x)\cdot \left [ u(x+h)-u(x) \right ]}{h} \\ f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{u(x+h)\cdot \left [ v(x+h)-v(x) \right ]}{h} + \lim_{h \to 0}\frac{v(x)\cdot \left [ u(x+h)-u(x)\right ]}{h}\\ f^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0}u(x+h)\;\cdot\; \lim_{h \to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h} \;+\; \lim_{h \to 0}v(x)\;\cdot\; \lim_{h \to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h} \\ &= u(x)\cdot v^{\prime}(x) + u^{\prime}(x)\cdot v(x) \,\,\blacksquare \end{align*} \)

Erläuterung

Funktion f(x) wird definiert als Produkt der beiden Funktionen u(x) und v(x)
Die Ableitung wird als Differentialquotient umgeschrieben

Der Term \( \frac{u(x+h)\cdot v(x)}{h} \) wird zu dem Grenzwert addiert und gleich wieder abgezogen. Damit wird der Wert des Terms nicht verändert, allerdings wird dieser Schritt benötigt, um den Beweis durchzuführen.
Faktorisieren
Um übersichtlich zu bleiben, wurde mithilfe der Grenzwertsätze der eine Grenzwert in zwei Grenzwerte umgeschrieben.

Wieder mithilfe der Grenzwertsätze werden die Vorfaktoren als eigenständige Grenzwerte geschrieben.
Jetzt werden die Grenzwerte gebildet. Der resultierende Term entspricht der Produktregel.

Bei 3 oder mehr Produkten

Muss man einen Term integrieren, der aus drei oder mehr Produkten besteht, so ist auch die Produktregel wie folgt anzuwenden.

\( \Big [u(x)\cdot v(x)\cdot w(x) \Big]^{\prime} \;=\; {\color{highlight}u^{\prime}(x)}\cdot v(x)\cdot w(x)\;+\;u(x)\cdot {\color{highlight}v^{\prime}(x)}\cdot w(x)\;+\;u(x)\cdot v(x)\cdot {\color{highlight}w^{\prime}(x)} \)

Wie man sehen kann, wird die Regel für jeden Faktor fortgesetzt. Dies gilt für eine beliebige Anzahl an Produkten, die abgeleitet werden sollen. Bei den 4 Funktionen, die als Produkt stehen und abgeleitet werden sollen, würde somit die Ableitung jeder einzelnen Funktion mit den übrigen, unveränderten Funktionen multipliziert werden. Dies muss für jede Funktion geschehen. Die resultierenden Produkte werden dann addiert.

\( \Big[t\cdot u\cdot v\cdot w\Big]^\prime \;=\; {\color{explaination}t^{\prime}}\cdot u\cdot v\cdot w\;+\; t\cdot {\color{explaination}u^{\prime}}\cdot v\cdot w\;+\; t\cdot u\cdot {\color{explaination}v^{\prime}}\cdot w\;+\;t\cdot u\cdot v\cdot {\color{explaination}w^{\prime}} \)

Die allgemeine Regel für eine beliebige Anzahl an Produkten (k), sähe in mathematischer Schreibweise so aus:

\( \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]^\prime \;=\; \sum_{i=1}^k \left(f_{i}^\prime(x) \cdot \prod_{j\ne i} f_j(x) \right) \)