Beweis für die Ableitung von sin(x)

Beweis, dass cos(x) die Ableitung von sin(x) ist

$f'(x)&=\lim_{h \to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\big(\sin(x)\cdot\cos(h) + \cos(x)\cdot\sin(h)\big)-\sin(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\sin(x)\cdot\left (\cos(h) -1 \right )+\cos(x)\cdot \sin(h)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\left (\frac{\sin(x)\cdot\left (\cos(h) -1 \right )}{h} \right )+\lim_{h \to 0 }\left (\frac{\cos(x)\cdot \sin(h)}{h} \right ) \\[2ex] &=\sin(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left(\frac{\cos(h) -1}{h} \right )+\cos(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left (\frac{ \sin(h)}{h} \right ) \\[2ex] &=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1 \\[2ex] &=\cos(x)$

Erklärung

Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten durchführen
f(x) als sin(x) umschreiben
Sinus mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems umschreiben
Faktorisieren
Grenzwert in zwei Grenzwerte durch den Grenzwertsatz umschreiben
Invariante Terme können vor den Grenzwert geschrieben werden
Grenzwerte bestimmen
Vereinfachen und zusammenfassen

Q.E.D.

Beweis #2: Reihenentwicklung

Die Ableitung des Sinus kann auch mit der Reihenentwicklung von sin(x) bestimmt werden:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \big({\sin (x)}\big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \frac {x^{2n+1}} {\left({2n+1}\right)!} \right ) \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \left({2n+1}\right) \frac {x^{2n} } {\left({2n+1}\right)!} \\[1ex] &= \displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \frac {x^{2n} } {\left({2n}\right)!} \;=\; \cos(x)$