Beweis für die Ableitung von sin(x)
Beweis, dass cos(x) die Ableitung von sin(x) ist
\( \begin{align*}
f^{\prime}(x)&=\lim_{h \to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\big(\sin(x)\cdot\cos(h) + \cos(x)\cdot\sin(h)\big)-\sin(x)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\frac{\sin(x)\cdot\left (\cos(h) -1 \right )+\cos(x)\cdot \sin(h)}{h} \\[2ex] &=\lim_{h \to 0 }\left (\frac{\sin(x)\cdot\left (\cos(h) -1 \right )}{h} \right )+\lim_{h \to 0 }\left (\frac{\cos(x)\cdot \sin(h)}{h} \right ) \\[2ex] &=\sin(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left(\frac{\cos(h) -1}{h} \right )+\cos(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left (\frac{ \sin(h)}{h} \right ) \\[2ex] &=\sin(x)\cdot 0+\cos(x)\cdot 1 \\[2ex] &=\cos(x)
\end{align*} \)
Erklärung
- Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten durchführen
- f(x) als sin(x) umschreiben
- Sinus mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems umschreiben
- Faktorisieren
- Grenzwert in zwei Grenzwerte durch den Grenzwertsatz umschreiben
- Invariante Terme können vor den Grenzwert geschrieben werden
- Grenzwerte bestimmen
- Vereinfachen und zusammenfassen
Q.E.D.
Beweis #2: Reihenentwicklung
Die Ableitung des Sinus kann auch mit der Reihenentwicklung von sin(x) bestimmt werden:
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \big({\sin (x)}\big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \frac {x^{2n+1}} {\left({2n+1}\right)!} \right ) \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \left({2n+1}\right) \frac {x^{2n} } {\left({2n+1}\right)!} \\[1ex] &= \displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \frac {x^{2n} } {\left({2n}\right)!} \;=\; \cos(x)
\end{align*} \)
