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Grenzwert

Der Grenzwert einer Funktion ist das grundlegende Konzept, das Analysis von Algebra und der analytischen Geometrie abgrenzt. Daher ist der Begriff des Grenzwerts maßgeblich für das Erlernen weiterer Methoden und Verfahren der Infinitesimalrechnung. Grenzwerte werden aufgrund dessen meistens vor der Differential- und Integralrechnung durchgenommen, da beide Konzepte Grenzwerte in ihrer Definition benötigen.

Grenzwerte werden benutzt, um das Verhalten des Ergebnisses einer Funktion zu beschreiben, während eine bestimmte Variable einen gewissen Wert erreicht. Dieser Wert wird allerdings nie wirklich erreicht. Man nähert sich diesem Wert nur unendlich nahe an. Deshalb haben Vollblutmathematiker auch Probleme damit, ein Gleichheitszeichen bei der Limesschreibweise zu benutzen, obwohl dies so üblich ist.

Das Konzept des Grenzwerts grenzt die Analysis klar von der Algebra ab. Er ist unverzichtbar, um beispielsweise die Ableitung einer Funktion zu finden.

Schreibweise

Grenzwertschreibweise

Wird gesprochen: "Der Grenzwert (auch Limes) von f(x) für x gegen c".

Mathematische Definition: Epsilon-Delta Kriterium

Definition

Sei f eine Funktion die in einem offenen Intervall definiert ist, indem sich auch c befindet, außer vielleicht an der Stelle c selbst. Dann ist der Grenzwert der Funktion f von x für x gegen c gleich L:

wenn für jede Zahl ε > 0 eine Zahl  δ > 0 existiert, sodass

wenn 0 < | x - c | < δ      dann      | f(x) - L | < ε      für      

 

Delta-Epsilon KriteriumIn der geläufigen Definition des Grenzwerts nähert sich f(x) beliebig nahe einer Zahl L an, wenn sich x dem Wert c von beiden Seiten nähert. Auch wenn sich diese Definition bereits recht technisch anhört, ist sie immer noch nach mathematischen Kriterien zu unpräzise. Die beiden Aussagen:

  • f(x) nähert sich beliebig nahe an L an
  • x nähert sich c

sind beide mathematisch nicht definiert worden. Die erste Person, die eine mathematische Definition des Grenzwerts formuliert hat war der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy. Sein Epsilon-Delta Kriterium ist bis heute die am häufigsten benutzte Definition.

Die Abbildung rechts veranschaulicht das Epsilon-Delta Kriterium. Die Aussage "f(x) nähert sich beliebig nahe an L an" bedeutet, dass f(x) im Intervall [L - ε; L + ε] liegt. Mit der Betragsfunktion, kann dies noch weiter verkürzt ausgedrückt werden:

Analog dazu bedeutet die Aussage "x nähert sich c" das eine positive Zahl δ existiert, sodass x entweder in dem Intervall [c - δ; c] oder [c; c + δ] liegt. Dies kann mit einer Ungleichung auch wieder verkürzt geschrieben werden:

Diese Ungleichung macht zwei Aussagen über |x - c|:

  • 0 < |x - c|
    Der Abstand zwischen x und c ist größer als Null. Dies bedeutet, dass sich der Grenzwert zwar der Zahl c annähert, sie aber nie erreicht.
  • |x - c| < δ
    x befindet sich innerhalb von δ Einheiten von c. Wenn der Abstand von x zu c kleiner als δ (aber nicht Null) ist, dann wird der Abstand von f(x) zu L kleiner als ε sein. δ ist daher abhängig von ε. Der Grenzwert sagt damit aus, dass egal wie klein ε gemacht wird, δ immer noch ausreichend groß ist.

Die Buchstaben ε und δ können auch als "Fehler" (französisch erreur) und "Abstand" (französisch distance) verstanden werden. Cauchy selbst hat in seinen Arbeiten den Buchstaben ε häufiger benutzt, um Fehler anzugeben. Die Aussage des Grenzwerts ist damit: man kann den Messfehler (ε) so klein machen wie man will, indem man den Abstand (δ) zu c verkleinert.

Eigenschaften von Grenzwerten

Name Regel Erklärung
Summenregel Der Grenzwert der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) ist gleich dem Grenzwert von f(x) addiert mit dem Grenzwert von g(x)
Differenzenregel Der Grenzwert der Differenz zweier Funktionen f(x) und g(x) ist gleich dem Grenzwert von f(x) minus dem Grenzwert von g(x)
Konstantenregel Konstanten können aus dem Grenzwert herausfaktorisiert werden
Produktregel Der Grenzwert des Produkts der beiden Funktion f(x) und g(x) kann als das Produkt des Grenzwerts der Funktion f(x) und dem Grenzwert der Funktion g(x) geschrieben werden
Quotientenregel Der Grenzwert des Quotienten der Funktion f(x) und g(x) kann als Quotient des Grenzwerts der Funktion f(x) geteilt durch den Grenzwert der Funktion g(x) geschrieben werden
Potenzregel Wird eine Potenz die auf die Funktion f(x) angewendet, ist der Wert identisch, wenn die Potenz auf den Grenzwert angewendet wird.

Die Funktion hat eine vertikale Asymptote an der Stelle x=2 (siehe Graph). Gleichzeitig besitzt die Funktion eine vertikale Asymptote bei y=0. Das Verhalten für beliebig große und kleine Werte von x, wird durch folgende Grenzwerte beschrieben:

Jetzt schauen wir uns die Funktion in der Nähe der vertikalen Asymptote bei x=2 genauer an. Zuerst betrachten wir die Seite links neben der Stelle 2. Nun schauen wir uns an, was passiert, je weiter wir uns nach rechts – also in Richtung der Stelle 2 – bewegen. Desto weiter wir uns der Stelle 2 von links aus annähern, desto kleiner wird x. Dieser linksseitige Grenzwert  wird mathematisch so ausgedrückt:

Da wir uns von links, mit Werten kleiner als x aus nähern, schreiben wir ein Minuszeichen in den Exponenten des Wertes, dem wir uns annähern – in diesem Fall 1. Bei einem rechtsseitigen Grenzwert, also wenn wir uns von rechts aus der Stelle 1 annähern, schreiben wir folgendes: