Taylorreihe

Eine Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist, bildet eine Taylorreihe. Taylorreihen werden benutzt, um den Wert einer Funktion an einer Stelle näherungsweise zu berechnen (approximieren). So benutzen die meisten Taschenrechner beispielsweise Taylorreihen, um den Sinus und andere trigonometrische Funktionen zu berechnen, da eine genaue Berechnung zu rechenintensiv wäre.

Die Taylorreihe ist im Prinzip ein Werkzeug in der Mathematik, mit dem man aus komplizierten Funktionen einfachere machen kann.

Definition

Eine Funktion f(x) entspricht einer Taylorreihe mit unendlich vielen Gliedern. Die Stelle a ist die Entwicklungsstelle. Die Entwicklungsstelle ist die Stelle, in deren Umgebung uns das Verhalten der Funktion interessiert.

\( \large{ \begin{align} f(x) \;&= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \;\\ &=\; f(a)+ \frac{f^{\prime}(a)}{1!} (x-a) \,+\, \frac{f^{\prime}(a)}{2!} (x-a)^2 \,+\, \dotsb \,+\, \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \,+\, \dotsb \end{align} } \)

Jedes Glied in der Taylorreihe entspricht einem Taylorpolynom. Eine Taylorreihe mit n Gliedern nennt man auch eine Taylorreihe n-ten Grades. Je höher der Grad einer Taylorreihe, desto genauer stimmt sie mit der Ausgangsfunktion überein.

\( \large{ T_n(x)\;=\; \ubrace[\text{1. Taylorpolynom}]{f(a)\vphantom{\frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x-a)}}\,+\, \ubrace[\text{2. Taylorpolynom}]{\frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x-a)} \,+\, \dotsb \,+\, \ubrace[\text{n. Taylorpolynom}]{\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n} } \)

Eine Taylorreihe an der Stelle a = 0 wird auch manchmal MacLaurin-Reihe genannt.

n! ist die Fakultät von n.

Sinus mit der Taylorreihe approximieren

Viele Taschenrechner verwenden Taylorreihen intern, um trigonometrische Funktionen, wie beispielsweise den Sinus, zu berechnen. In der Abbildung rechts sehen wir die Sinusfunktion sowie Taylorreihen der Grade 3, 5 und 7. Um die Sinusfunktion als Taylorreihe zu schreiben, schauen wir uns zunächst einmal die Ableitung des Sinus an:

\( \begin{align} f(x) &= \sin(x) \\ f^{\prime}(x) &= \cos(x) \\ f^{\prime}(x) &= -\sin(x) \\ f^{\prime\prime}(x) &= -\cos(x) \\ f^{(4)}(x) &= \sin(x) \\ f^{(5)}(x) &= \cos(x) \\ &\vdots \end{align} \)

Wir wir sehen können, erhalten wir nach vier Ableitung wieder die Sinusfunktion – unsere Ausgangsfunktion. Die Sinusfunktion ist also beliebig oft differenzierbar und ihre Ableitungen wiederholen sich nach vier Durchgängen.
Wir wollen den Sinus an der Stelle 0 berechnen. Wir wissen, dass eine Taylorreihe an der Stelle 0 nach folgendem Schema aufgebaut ist:

\( f(0)\,+\, \frac{f^{\prime}(0)}{1!} (x-0) \,+\, \frac{f^{\prime}(0)}{2!} (x-0)^2 \,+\, \frac{f^{\prime\prime}(0)}{3!} (x-0)^3\,+\, \frac{f^{(4)}(0)}{4!} (x-0)^4 \,+\, \frac{f^{(5)}(0)}{5!} (x-0)^5\;\dotsb \)

Nun setzen wir die Ableitung der Sinusfunktion ein:

\( \sin(0)\,+\, \frac{\cos(0)}{1!}\cdot x \,+\, \frac{-\sin(0)}{2!}\cdot x^2 \,+\, \frac{-\cos(0)}{3!}\cdot x^3\,+\, \frac{\sin(0)}{4!}\cdot x^4 \,+\, \frac{-\cos(0)}{5!}\cdot x^5\;\dotsb \)

Wir wissen auch von der Sinus- und der Kosinusfunktion, dass sin(0) immer 0 ist und cos(0) immer 1. Dadurch lässt sich unsere Reihe sehr vereinfachen:

\( \ubrace[0]{\cancel{\sin(0)}}\,+\, \frac{\cancelto{1}{\cos(0)}}{1!}\cdot x \,+\, \ubrace[0]{\cancel{\frac{-\sin(0)}{2!}\cdot x^2}} \,+\, \frac{-\cancelto{1}{\cos(0)}}{3!}\cdot x^3\,+\, \ubrace[0]{\cancel{\frac{\sin(0)}{4!}\cdot x^4}} \,+\, \frac{\cancelto{1}{\cos(0)}}{5!}\cdot x^5\;\dotsb \)

Nachdem wir die Reihe vereinfacht haben, erhalten wir:

\( \frac{x}{1!}\,-\,\frac{x^3}{3!}\,+\,\frac{x^5}{5!} \;\;=\;\; x\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,\frac{x^5}{120} \)

Die Sinusfunktion lässt demnach auch durch folgende Taylorreihe ausdrücken:

\( \boxed{\sin (x) \;=\; \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \;=\; \frac{x}{1!}\,-\,\frac{x^3}{3!}\,+\,\frac{x^5}{5!}\,\mp\,\cdots} \)

Taylorreihe und Tangentengleichung

Oft soll in der Oberstufe die Tangentengleichung einer Funktion an einer Stelle berechnet werden. Eine Taylorreihe ersten Grades entspricht der Tangentengleichung. Man spricht auch von der „Linearisierung der Funktion f an der Stelle a“.

Dies ist besonders interessant, da ältere CAS Taschenrechner oft keine eigenständige Funktion besitzen um die Tangentengleichung zu bestimmen, dafür aber meistens eine Taylor-Funktion.