Beweis für die Ableitung von cos(x)

Beweis, das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist

\( \begin{align*} f^{\prime}(x)&=\lim_{h \to 0 }\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[1ex] &=\lim_{h \to 0 }\dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} \\[1ex] &=\lim_{h \to 0 }\dfrac{\big(\cos(x)\cdot\cos(h) – \sin(x)\cdot\sin(h)\big)-\cos(x)}{h} \\[1ex] &=\lim_{h \to 0 }\dfrac{\cos(x)\cdot\big(\cos(h) -1 \big)-\sin(x)\cdot \sin(h)}{h} \\[1ex] &=\lim_{h \to 0 }\left (\dfrac{\cos(x)\cdot\left (\cos(h) -1 \right )}{h} \right )-\lim_{h \to 0 }\left (\dfrac{\sin(x)\cdot \sin(h)}{h} \right ) \\[1ex] &=\cos(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left(\dfrac{\cos(h) -1}{h} \right )-\sin(x)\cdot\lim_{h \to 0 }\left (\dfrac{ \sin(h)}{h} \right ) \\[1ex] &=\cos(x)\cdot 0-\sin(x)\cdot 1 \\[1ex] &=-\sin(x) \end{align*} \)

Erklärung

Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten durchführen

f(x) als cos(x) umschreiben
Cosinus mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems umschreiben
Faktorisieren

Grenzwert in zwei Grenzwerte durch den Grenzwertsatz umschreiben
Invariante Terme können vor den Grenzwert geschrieben werden
Grenzwerte bestimmen (dabei ist zu beachten, dass \( \footnotesize{ \lim_{h \to 0 }\left (\dfrac{ \sin(h)}{h} \right )=1 } \) ein besonderer Grenzwert ist, auf dessen Herleitung noch einmal gesondert eingegangen wird.)

Vereinfachen und zusammenfassen

Q.E.D.

Beweis #2: Reihenentwicklung

Die Ableitung des Cosinus kann auch mithilfe der Reihenentwicklung von cos(x) bestimmt werden:

\( \begin{align*} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \big({\cos(x)}\big) &= \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\displaystyle \cos(x) = \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!} \right ) \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 1}^\infty \left({-1}\right)^n 2n \dfrac {x^{2n – 1} }{\left({2n}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 1}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n – 1} }{\left({2n – 1}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^{n+1} \dfrac {x^{2n + 1} }{\left({2n + 1}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle – \ubrace[\text{Definition von sin(x)}]{\sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n + 1} }{\left({2n + 1}\right)!}} = -\sin(x) \end{align*} \)