Beweis für die Ableitung von cos(x)
Beweis, das -sin(x) die Ableitung von cos(x) ist
Erklärung
- Ableitung mit Hilfe des Differentialquotienten durchführen
- f(x) als cos(x) umschreiben
- Cosinus mit Hilfe des trigonometrischen Additionstheorems umschreiben
- Faktorisieren
- Grenzwert in zwei Grenzwerte durch den Grenzwertsatz umschreiben
- Invariante Terme können vor den Grenzwert geschrieben werden
- Grenzwerte bestimmen (dabei ist zu beachten, dass \( \footnotesize{ \lim_{h \to 0 }\left (\dfrac{ \sin(h)}{h} \right )=1 } \) ein besonderer Grenzwert ist, auf dessen Herleitung noch einmal gesondert eingegangen wird.)
- Vereinfachen und zusammenfassen
Q.E.D.
Beweis #2: Reihenentwicklung
Die Ableitung des Cosinus kann auch mithilfe der Reihenentwicklung von cos(x) bestimmt werden:
\( \begin{align*} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \big({\cos(x)}\big) &= \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\displaystyle \cos(x) = \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!} \right ) \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 1}^\infty \left({-1}\right)^n 2n \dfrac {x^{2n – 1} }{\left({2n}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 1}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n – 1} }{\left({2n – 1}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle \sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^{n+1} \dfrac {x^{2n + 1} }{\left({2n + 1}\right)!} \\[1ex] &=\displaystyle – \ubrace[\text{Definition von sin(x)}]{\sum_{n \mathop = 0}^\infty \left({-1}\right)^n \dfrac {x^{2n + 1} }{\left({2n + 1}\right)!}} = -\sin(x) \end{align*} \)