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Beweis das sin(x)²+cos(x)²=1

Beweis der trigonometrischen Identität sin(x)²+cos(x)²=1

\begin{align}\sin(x)^2+\cos(x)^2&=1&\qquad(1) \\[2ex] \sin(x) &= \frac{a}{c} &\qquad (2) \\[2ex] \cos(x)&=\frac{b}{c} &\qquad (3)\\[2ex] \Rightarrow \big(\sin(x)\big)^2 &= {\frac{a}{c}}^2 &\qquad (4)\\[2ex] \big(\cos(x)\big)^2 &= {\frac{b}{c}}^2 &\qquad (5) \\[2ex] {\frac{a}{c}}^2+{\frac{b}{c}}^2 &= 1 &\qquad (6) \\[2ex] \frac{a^2+b^2}{c^2}&=1 &\qquad (7) \\[2ex] \frac{c^2}{c^2} &= 1 &\qquad (8) \\[2ex] 1 &= 1 &\qquad (9) \end{align}

Erklärung

  1. Dreick mit KathetenEs gilt zu beweisen, dass diese trigonometrische Identität stimmt
  2. Der Sinus eines Winkels ist definiert als "Gegenkathete a geteilt durch Hypotenuse c"
  3. Der Kosinus hingegen ist definiert als "Ankathete b geteilt durch Hypotenuse c"
  4. Daraus folgt, dass, wenn der Sinus quadriert wird, auch das Verhältnis der beiden Seiten des Dreiecks quadriert werden
  5. Dasselbe trifft auch auf den Kosinus zu
  6. Somit kann das Quadrat von Sinus und Kosinus ersetzt werden durch die entsprechenden Werte aus Punkt 4 und 5
  7. Ausmultiplizieren und vereinfachen
  8. Gemäß dem Satz des Pythagoras ist a²+b²=c²; wir können somit den Zähler durch c² ersetzen
  9. Vereinfachen

Q.E.D.