Beweis das sin(x)²+cos(x)²=1
Beweis der trigonometrischen Identität sin(x)²+cos(x)²=1
\( \begin{align}\sin(x)^2+\cos(x)^2&=1&\qquad(1) \\[2ex] \sin(x) &= \frac{a}{c} &\qquad (2) \\[2ex] \cos(x)&=\frac{b}{c} &\qquad (3)\\[2ex] \Rightarrow \big(\sin(x)\big)^2 &= {\frac{a}{c}}^2 &\qquad (4)\\[2ex] \big(\cos(x)\big)^2 &= {\frac{b}{c}}^2 &\qquad (5) \\[2ex] {\frac{a}{c}}^2+{\frac{b}{c}}^2 &= 1 &\qquad (6) \\[2ex] \frac{a^2+b^2}{c^2}&=1 &\qquad (7) \\[2ex] \frac{c^2}{c^2} &= 1 &\qquad (8) \\[2ex] 1 &= 1 &\qquad (9) \end{align} \)
Erklärung
Es gilt zu beweisen, dass diese trigonometrische Identität stimmt- Der Sinus eines Winkels ist definiert als „Gegenkathete a geteilt durch Hypotenuse c“
- Der Kosinus hingegen ist definiert als „Ankathete b geteilt durch Hypotenuse c“
- Daraus folgt, dass, wenn der Sinus quadriert wird, auch das Verhältnis der beiden Seiten des Dreiecks quadriert werden
- Dasselbe trifft auch auf den Kosinus zu
- Somit kann das Quadrat von Sinus und Kosinus ersetzt werden durch die entsprechenden Werte aus Punkt 4 und 5
- Ausmultiplizieren und vereinfachen
- Gemäß dem Satz des Pythagoras ist a²+b²=c²; wir können somit den Zähler durch c² ersetzen
- Vereinfachen
Q.E.D.