Beweis das sin(x)²+cos(x)²=1

Beweis der trigonometrischen Identität sin(x)²+cos(x)²=1

\( \begin{align}\sin(x)^2+\cos(x)^2&=1&\qquad(1) \\[2ex] \sin(x) &= \frac{a}{c} &\qquad (2) \\[2ex] \cos(x)&=\frac{b}{c} &\qquad (3)\\[2ex] \Rightarrow \big(\sin(x)\big)^2 &= {\frac{a}{c}}^2 &\qquad (4)\\[2ex] \big(\cos(x)\big)^2 &= {\frac{b}{c}}^2 &\qquad (5) \\[2ex] {\frac{a}{c}}^2+{\frac{b}{c}}^2 &= 1 &\qquad (6) \\[2ex] \frac{a^2+b^2}{c^2}&=1 &\qquad (7) \\[2ex] \frac{c^2}{c^2} &= 1 &\qquad (8) \\[2ex] 1 &= 1 &\qquad (9) \end{align} \)

Erklärung

Es gilt zu beweisen, dass diese trigonometrische Identität stimmt

Der Sinus eines Winkels ist definiert als „Gegenkathete a geteilt durch Hypotenuse c“
Der Kosinus hingegen ist definiert als „Ankathete b geteilt durch Hypotenuse c“
Daraus folgt, dass, wenn der Sinus quadriert wird, auch das Verhältnis der beiden Seiten des Dreiecks quadriert werden

Dasselbe trifft auch auf den Kosinus zu
Somit kann das Quadrat von Sinus und Kosinus ersetzt werden durch die entsprechenden Werte aus Punkt 4 und 5
Ausmultiplizieren und vereinfachen

Gemäß dem Satz des Pythagoras ist a²+b²=c²; wir können somit den Zähler durch c² ersetzen
Vereinfachen

Q.E.D.

Hintergrund

Der Beweis der Identität sin(x)²+cos(x)²=1 ist ein grundlegendes Element der Trigonometrie, das die Beziehung zwischen den Sinus- und Kosinusfunktionen eines Winkels x zeigt. Diese Identität, die als trigonometrischer Pythagoras bekannt ist, ergibt sich aus der Anwendung des Satzes des Pythagoras auf den Einheitskreis, bei dem jeder Punkt auf dem Kreis die Koordinaten (cos(x), sin(x)) hat.

Sie bietet eine Möglichkeit, trigonometrische Ausdrücke und Gleichungen auf einfache Weise zu vereinfachen und zu lösen, andere trigonometrische Identitäten zu beweisen und ist in verschiedenen Anwendungen in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen von wesentlicher Bedeutung. Der trigonometrische Pythagoras zeigt, wie eng trigonometrische Funktionen und Kreisbewegungen miteinander verbunden sind. Darüber hinaus unterstreicht er die Tatsache, dass sich beide zyklisch sind und sich daher regelmäßig wiederholen.

Der trigonometrische Pythagoras spielt zudem eine ganz entscheidende Rolle für die Analyse und das Verständnis von Schwingungsphänomenen wie Wellen und harmonischen Bewegungen. In der Physik wird die Identität beispielsweise bei der Energieerhaltung in Systemen mit einfacher harmonischer Bewegung verwendet, wo die potenzielle und kinetische Energie durch Sinus- und Kosinusfunktionen ausgedrückt werden kann.
Sie spielt außerdem in der Signalverarbeitung eine Rolle. Dort hilft sie uns, Signale zwischen Zeit- und Frequenzbereich umzuwandeln, und zwar mithilfe der Fourier-Transformation. Und nicht zuletzt ist diese Identität ein wichtiger Bestandteil des Verständnisses komplexer Zahlen sowie der Eulerschen Formel, die eine Brücke zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen schlägt.