Ableitungsregeln

Hier haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln noch einmal zusammengefasst.

Definition der Ableitung (Differentialquotient):

Definition

f'(x) \;=\; \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Ableitungsfunktionen

Funktion Ableitung
c# space c in RR 0
x^n space {n pipe n in RR} n*x^(n-1)
e^x e^x
e^{f(x)} f'(x)\cdot e^{f(x)}
a^x ln(a)*a^x
sqrt(x) 1/(2*sqrt(x))
\sqrt[3]{x} 1/(3*root(3)(x^2))
ln(x) 1/x
\log_c(x) {1 \over x \cdot\ln(c)} , \qquad c > 0,\; c \ne 1

Trigonometrische Funktionen

Funktion Ableitung Umkehrfunktion Ableitung Umkehrfunktion
\mathbf{\sin}(x) \cos(x) \sin^{-1}(x) 1/sqrt(1-x^2)
\cos(x) -\sin(x) \cos^{-1}(x) -1/sqrt(1-x^2)
\tan(x) \sec^2(x)\;=\;{ 1 \over \cos^2(x)} \;=\; 1 + \tan^2(x) \tan^{-1}(x) 1/(1+x^2)
\sec(x) \sec (x)\cdot \tan (x) \sec^{-1}(x) { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}\cdot |x|}
\csc(x) -\csc(x) \cdot\cot (x) \;=\; -\frac{\mathrm{cos}\left( x\right) }{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}} \csc^{-1}(x) -{1 \over \sqrt{x^2 - 1}\cdot |x|}
\cot(x) -\csc^2(x) \;=\; { -1 \over \sin^2(x)} \;=\; -\left(1 + \cot^2 (x)\right) \cot^{-1}(x) -{1 \over 1 + x^2}
\sinh(x)\;=\;\frac{e^x - e^{-x}}{2} \cosh(x)\;=\;\frac{e^x + e^{-x}}{2} \sinh^{-1}(x) \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}
\cosh(x)\;=\;\frac{e^x + e^{-x}}{2} \sinh(x)\;=\;\frac{e^x - e^{-x}}{2} \cosh^{-1}(x) \frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}}
\tanh(x)\;=\;\frac{\mathrm{sinh}\left( x\right) }{\mathrm{cosh}\left( x\right) } \mathrm{sech}^2(x)\;=\;\frac{1}{{\mathrm{cosh}^2( x) }} \tanh^{-1}(x) \frac{1}{1-{x}^{2}}

Ableitungsregeln

Summenregel

Zum Hauptartikel Summenregel

\big( f(x)+g(x) \big)' \;=\; \big( f(x) \big)'+\big( g(x) \big)'

Produktregel

Zum Hauptartikel Produktregel

\big( f(x)\cdot g(x) \big)' \;=\; f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)

Quotientenregel

Zum Hauptartikel Quotientenregel

\Bigg( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigg)' \;=\; \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}

Kettenregel

Zum Hauptartikel Kettenregel

\Big(f\big(g(x)\big)\Big)' \;=\; f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Ableitung eines Kehrwerts

Zum Hauptartikel Reziprokenregel

\left(\frac{1}{f(x)}\right)'\;=\;-\frac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^2}