Ableitungsregeln
Hier haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln noch einmal zusammengefasst.
Definition der Ableitung (Differentialquotient):
Definition
\( \large{ f^{\prime}(x) \;=\; \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} } \)
Ableitungsfunktionen
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
\( c, c \in \mathbb{R} \) |
@@ 0 @@ |
\( x^n \;\, \left \{ \left . n \;\right |\; \mathbb{R} \right \} \) |
@@ n*x^(n-1) @@ |
\( e^x \) |
\( e^x \) |
\( e^{f(x)} \) |
\( f^{\prime}(x)\cdot e^{f(x)} \) |
\( a^x \) |
@@ ln(a)*a^x @@ |
\( \sqrt(x) \) |
@@ 1/(2*sqrt(x)) @@ |
\( \sqrt[3]{x} \) |
@@ 1/(3*root(3)(x^2)) @@ |
\( \ln(x) \) |
@@ 1/x @@ |
\( \log_c(x) \) |
\( {\dfrac{1}{x \cdot\ln(c)}} , \qquad c > 0,\; c \ne 1 \) |
Trigonometrische Funktionen
| Funktion | Ableitung | Umkehrfunktion | Ableitung Umkehrfunktion |
|---|---|---|---|
\( \mathbf{\sin}(x) \) |
\( \cos(x) \) |
\( \sin^{-1}(x) \) |
@@ 1/sqrt(1-x^2) @@ |
\( \cos(x) \) |
\( -\sin(x) \) |
\( \cos^{-1}(x) \) |
@@ -1/sqrt(1-x^2) @@ |
\( \tan(x) \) |
\( \sec^2(x)\;=\;{ 1 \over \cos^2(x)} \;=\; 1 + \tan^2(x) \) |
\( \tan^{-1}(x) \) |
@@ 1/(1+x^2) @@ |
\( \sec(x) \) |
\( \sec (x)\cdot \tan (x) \) |
\( \sec^{-1}(x) \) |
\( { \dfrac{1}{\sqrt{x^2 – 1}\cdot |x|}} \) |
\( \csc(x) \) |
\( -\csc(x) \cdot\cot (x) \;=\; -\dfrac{\mathrm{cos}\left( x\right) }{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}} \) |
\( \csc^{-1}(x) \) |
\( -{1 \over \sqrt{x^2 – 1}\cdot |x|} \) |
\( \cot(x) \) |
\( -\csc^2(x) \;=\; { -1 \over \sin^2(x)} \;=\; -\left(1 + \cot^2 (x)\right) \) |
\( \cot^{-1}(x) \) |
\( -{1 \over 1 + x^2} \) |
\( \sinh(x)\;=\;\dfrac{e^x – e^{-x}}{2} \) |
\( \cosh(x)\;=\;\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \) |
\( \sinh^{-1}(x) \) |
\( \dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}} \) |
\( \cosh(x)\;=\;\dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \) |
\( \sinh(x)\;=\;\dfrac{e^x – e^{-x}}{2} \) |
\( \cosh^{-1}(x) \) |
\( \dfrac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}} \) |
\( \tanh(x)\;=\;\dfrac{\mathrm{sinh}\left( x\right) }{\mathrm{cosh}\left( x\right) } \) |
\( \mathrm{sech}^2(x)\;=\;\dfrac{1}{{\mathrm{cosh}^2( x) }} \) |
\( \tanh^{-1}(x) \) |
\( \dfrac{1}{1-{x}^{2}} \) |
Ableitungsregeln
Summenregel
\( \Large{ \big( f(x)+g(x) \big)^{\prime} \;=\; \big( f(x) \big)^{\prime}+\big( g(x) \big)^{\prime} } \)
Produktregel
\( \Large{ \big( f(x)\cdot g(x) \big)^{\prime} \;=\; f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x) } \)
Quotientenregel
Zum Hauptartikel Quotientenregel
\( \Large{ \Bigg( \dfrac{f(x)}{g(x)} \Bigg)^{\prime} \;=\; \dfrac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)^2} } \)
Kettenregel
\( \Large{ \Big(f\big(g(x)\big)\Big)^{\prime} \;=\; f^{\prime}\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) } \)
Ableitung eines Kehrwerts
Zum Hauptartikel Reziprokenregel
\( \Large{ \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)^{\prime}\;=\;-\dfrac{f^{\prime}(x)}{\big(f(x)\big)^2} } \)