Ableitungsregeln

Hier haben wir die wichtigsten Ableitungsregeln noch einmal zusammengefasst.

Definition der Ableitung (Differentialquotient):

Definition

$f'(x) \;=\; \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Ableitungsfunktionen

Funktion	Ableitung
$c# space c in RR$	$0$
$x^n space {n pipe n in RR}$	$n*x^(n-1)$
$e^x$	$e^x$
$e^{f(x)}$	$f'(x)\cdot e^{f(x)}$
$a^x$	$ln(a)*a^x$
$sqrt(x)$	$1/(2*sqrt(x))$
$\sqrt[3]{x}$	$1/(3*root(3)(x^2))$
$ln(x)$	$1/x$
$\log_c(x)$	${1 \over x \cdot\ln(c)} , \qquad c > 0,\; c \ne 1$

Trigonometrische Funktionen

Funktion	Ableitung	Umkehrfunktion	Ableitung Umkehrfunktion
$\mathbf{\sin}(x)$	$\cos(x)$	$\sin^{-1}(x)$	$1/sqrt(1-x^2)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\cos^{-1}(x)$	$-1/sqrt(1-x^2)$
$\tan(x)$	$\sec^2(x)\;=\;{ 1 \over \cos^2(x)} \;=\; 1 + \tan^2(x)$	$\tan^{-1}(x)$	$1/(1+x^2)$
$\sec(x)$	$\sec (x)\cdot \tan (x)$	$\sec^{-1}(x)$	${ 1 \over \sqrt{x^2 - 1}\cdot \|x\|}$
$\csc(x)$	$-\csc(x) \cdot\cot (x) \;=\; -\frac{\mathrm{cos}\left( x\right) }{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}}$	$\csc^{-1}(x)$	$-{1 \over \sqrt{x^2 - 1}\cdot \|x\|}$
$\cot(x)$	$-\csc^2(x) \;=\; { -1 \over \sin^2(x)} \;=\; -\left(1 + \cot^2 (x)\right)$	$\cot^{-1}(x)$	$-{1 \over 1 + x^2}$
$\sinh(x)\;=\;\frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$\cosh(x)\;=\;\frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$\sinh^{-1}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
$\cosh(x)\;=\;\frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$\sinh(x)\;=\;\frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$\cosh^{-1}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$
$\tanh(x)\;=\;\frac{\mathrm{sinh}\left( x\right) }{\mathrm{cosh}\left( x\right) }$	$\mathrm{sech}^2(x)\;=\;\frac{1}{{\mathrm{cosh}^2( x) }}$	$\tanh^{-1}(x)$	$\frac{1}{1-{x}^{2}}$

Ableitungsregeln

Summenregel

Zum Hauptartikel Summenregel

$\big( f(x)+g(x) \big)' \;=\; \big( f(x) \big)'+\big( g(x) \big)'$

Produktregel

Zum Hauptartikel Produktregel

$\big( f(x)\cdot g(x) \big)' \;=\; f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Quotientenregel

Zum Hauptartikel Quotientenregel

$\Bigg( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigg)' \;=\; \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$

Kettenregel

Zum Hauptartikel Kettenregel

$\Big(f\big(g(x)\big)\Big)' \;=\; f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$

Ableitung eines Kehrwerts

Zum Hauptartikel Reziprokenregel

$\left(\frac{1}{f(x)}\right)'\;=\;-\frac{f'(x)}{\big(f(x)\big)^2}$