Die Summenregel ist eine der grundlegendsten Regeln der Differentialrechung. Durch sie kann man die Ableitung einer Funktion finden, welche die Summe zweier weiterer Funktionen ist. Die Summenregel der Integration folgt aus ihr.
DefinitionSeien f(x) und g(x) zwei differenzierbare Funktionen, dann gilt:
@@ (f(x)+g(x))‘ = f'(x)+g'(x) @@
Beispiele
Die Summenregel erlaubt uns, die Ableitung einer Funktion, welche die Summe von zwei anderen Funktionen ist, als zwei Ableitungen zu schreiben:
@@ (2x^3+4x^2)‘ = (2x^3)’+(4x^2)' @@
Durch Ausmultiplizieren kann dieses Polynom mit der Summenregel gelöst werden:
\( \Big(x\left(x+1\right)\Big)^{\prime} = \Big(x^2+x\Big)^{\prime} = \br{x^2\vphantom{x^2}}^{\prime} + \br{x\vphantom{x^2}}^{\prime} \)
Einige Polynome können statt mit der Kettenregel auch ausmultipliziert und mit der Summenregel umgeschrieben werden:
\( \Big(\left(x+1\right)^2\Big)^{\prime} = \left(x^2+2x+1\right)^{\prime} = \br{x^2}^{\prime} + \br{2x\vphantom{x^2}}^{\prime} + \br{1\vphantom{x^2}}^{\prime} \)
Beweis der Summenregel
Sei y eine Funktion, welche die Summe zweier andere Funktionen u und v ist:
@@ y = u+v @@
Nun erhöhen wir y, u und v um jeweils Δy, Δu und Δv:
\( y + \Delta{y} = (u + \Delta{u}) + (v + \Delta{v}) = u + v + \Delta{u} + \Delta{v} = y + \Delta{u} + \Delta{v} \)
sodass:
\( \Delta{y} = \Delta{u} + \Delta{v} \)
Als Nächstes teilen wir durch Δx:
\( \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} + \frac{\Delta{v}}{\Delta{x}} \)
Um der Definition der Ableitung gerecht zu werden, lassen wir nun Δx gegen Null streben:
\( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,y \;=\; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,u\;+\;\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,v \)
Gemäß der Definition von y können wir also auch schreiben:
\( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,\left ( u+v \right ) \;=\; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,u\;+\;\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,v \)
Dies gibt uns nun die Summenregel.
Die Summenregel bei Differenzen
Die Summenregel gilt natürlich sowohl für Addition als auch Subtraktion.
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(u – v\right) \;\;=\;\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(u + (-v)\Big) \;\;=\;\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,u + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(-v\right) \)
Mit der Faktorregel können wir -1 faktorisieren:
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Big(u \,-\, v\Big) \;\;=\;\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\; u + \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\; v\right) \;\;=\;\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\; u – \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\; v \)
Demnach kann die Summenregel sowohl für Addition als auch Subtraktion angewendet werden:
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(u \pm v\big) \;\;=\;\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,u \pm \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,v \)
