Die Faktorregel in der Differenzialrechnung erlaubt es, konstante Terme vor die Ableitung zu faktorisieren. Dies betrifft nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, die nicht differenziert werden.
Definitionf(x) ist eine differenzierbare Funktion und k eine Konstante, dann gilt:
\( \Large{ (k\cdot f(x))^\prime = k\cdot f^\prime(x) } \)
Beispiele
Das einfachste Beispiel für die Faktorregel. Die Zahl zwei ist ein Faktor vor der eigentlichen Funktion x². 2 kann aus dem Term faktorisiert werden und vor die Ableitung geschrieben werden:
\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2\cdot x^2 \right ) \;\;=\;\; 2\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^2 \right ) \)
Auch Brüche können faktorisiert werden:
\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \dfrac{x^2}{2} \right ) \;\;=\;\; \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^2 \right ) \)
Die Faktorregel gilt für alle Zahlen:
\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \pi\cdot x^2 \right ) \;\;=\;\; \pi\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^2 \right ) \)
Auch Variablen, die invariant (unverändert durch die Ableitung) gegenüber der Ableitung sind, können faktorisiert werden:
\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( a\cdot x^2 \right ) \;\;=\;\; a\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^2 \right ) \)
Auch mehrere invariante Terme können gleichzeitig faktorsiert werden:
\( \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( 2\cdot a\cdot x^2 \right ) \;\;=\;\; 2\cdot a\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^2 \right ) \)
Beweis
Sei g(x) eine Funktion, sodass g(x) = k · f(x), dann gilt:
\( \begin{align*}
g^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\[1ex] g^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{k \cdot f(x+h) – k \cdot f(x)}{h} \\[1ex] g^{\prime}(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{k\cdot(f(x+h) – f(x))}{h} \\[1ex] g^{\prime}(x) &= k \cdot\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) – f(x)}{h} \quad \xplain{\mbox{k kann vor den Grenzwert faktorisiert werden}} \\[1ex] g^{\prime}(x) &= k \cdot f^{\prime}(x)
\end{align*} \)
