Reziprokenregel
In der Differentialrechnung ist die Reziprokenregel eine Abkürzung, um die Ableitung einer Funktion zu finden, die der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion ist, ohne die Kettenregel oder die Quotientenregel anzuwenden.
Definition
Ist die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion, dann gilt:
\( \large{ \displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{g(x)}\right) \;\;=\;\; \frac{- g^{\prime}(x)}{\left [g(x) \right ]^2} } \)
Beweis und Herleitung
Die Reziprokenregel lässt sich einfach über die Quotientenregel herleiten:
\( \begin{align*}
\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{g(x)}\right) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) \\[2ex] &= \frac{f^{\prime}(x)g(x) – f(x)g^{\prime}(x)}{\left [g(x) \right ]^2} \\[2ex] &= \frac{0\cdot g(x) – 1\cdot g^{\prime}(x)}{\left [g(x) \right ]^2} \\[2ex] &= \frac{- g^{\prime}(x)}{\left [g(x) \right ]^2}
\end{align*} \)
