Ableitung einer Wurzel

Ableitungen von Wurzeln gehören zu den Aufgaben, wo am häufigsten Fehler gemacht werden. Dabei sind sie ganz einfach, wenn man weiß, wie es funktioniert.

Ableitung einer einfachen Wurzelfunktion

Jede Wurzel kann auch als Exponent geschrieben werden:

Merke:

Eine Wurzel ist identisch mit einem Exponenten der Form

\( \LARGE{ \sqrt[n]{x} \;=\; x^{\tfrac{1}{n}} } \)

Wir können daher jede einfache Wurzelfunktion wie eine gewöhnliche Potenz mit der Potenzregel ableiten:

\( \large{ \sqrt{x} \;=\; \sqrt[2]{x} \;=\; x^{\dfrac{1}{2}} \quad\Rightarrow\quad \left ( \sqrt{x} \right )’\;=\; \dfrac{1}{2}\cdot x^{\dfrac{1}{2}-1} \;=\; \dfrac{x^{-\dfrac{1}{2}}}{2} \;=\; \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}} } \)

Ableitung mit der Kettenregel

Will man keine reine Wurzel von x ableiten, so benötigt man die Kettenregel. Es ergeben sich dann zwei Funktionen:

Die äußere Funktion ist die Wurzel

Die innere Funktion ist der Ausdruck, der unter der Wurzel steht (Radikand)

Laut der Kettenregel werden zwei miteinander verkettete Funktionen f und g so abgeleitet:

\( \large{ \Big(f\big(g(x)\big)\Big)^\prime \;=\; f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) } \)

f ist die äußere und g die innere Funktion.

Beispiel

Bestimme die Ableitung folgender Funktion: @@ h(x) = sqrt(x^3+2x^2+2) @@.

Diese Funktion leiten wir mit der Kettenregel ab. Dazu bestimmen wir zuerst die äußere und die innere Funktion und deren Ableitungen:

	Ausgangsfunktion	Ableitung
äußere Funktion f	\( \sqrt{x} \)	\( \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}} \)
innere Funktion g	@@ x^3+2x^2+2 @@	@@ 3x^2+4x @@

Daraus ergibt sich dann die Ableitung:

\( \Big(f\big(g(x)\big)\Big)^\prime \;=\; f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \;=\; \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x^3+2x^2+2}}\cdot \left(3x^2+4x\right) \)

Wichtig! In unserem Beispiel besteht die innere Funktion aus mehr als einem Term. Wir müssen ihn daher in Klammern schreiben, da wir den Term als ganzes multiplizieren müssen. Würden wir die Klammer weglassen, würde nur 3x² mit dem Bruch multipliziert werden.

Beweis und Herleitung

Die Herleitung erfolgt über den Differentialquotienten:

\( \begin{align*} f^{\prime}(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \obrace[1]{\left ( \dfrac{ \sqrt{x+h}+\sqrt{x} }{ \sqrt{x+h}+\sqrt{x} } \right )} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\left ( x+h \right )-x}{h\left [ \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right ]} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h\left [ \sqrt{x+h} +\sqrt{x} \right ]} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h} +\sqrt{x}} \\[2ex] &= \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*} \)

Erklärung

Definition der Ableitung über den Differentialquotienten

@@ f(x) = sqrt(x) @@. Wir lösen die Funktionen auf.
Wir multiplizieren den Ausdruck mit \( \dfrac{ \sqrt{x+h}+\sqrt{x} }{ \sqrt{x+h}+\sqrt{x} } \). Da Zähler und Nenner identisch sind, ist der Ausdruck gleich 1. Auch wenn es vielleicht widersinnig erscheinen mag, den Ausdruck mit einem Term zu multiplizieren, der letztlich gleich 1 ist und damit die Aussage nicht verfälscht, so ist dies für manche Beweise nötig (siehe auch den Beweis der Produktregel, der einen ähnlichen Schritt besitzt).
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir den Zähler: @@ (sqrt(x+h)-sqrt(x))*(sqrt(x+h)+sqrt(x)) = (x+h)-x @@. Den Nenner klammern wir lediglich aus.

Der Zähler kann weiter auf h vereinfacht werden, da x-x null ist.
h kommt sowohl im Zähler als auch im Nenner vor. Es wird einfach weggekürzt.
Jetzt wird der Grenzwert berechnet. h strebt gegen Null. Am Ende haben wir nur noch \( \dfrac{1}{\sqrt{x+0} +\sqrt{x}} \) welches \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) entspricht.