Potenzregel
Die Potenzregel ist die grundlegendste Regel der Differentialrechnung. Sie ist meist auch die erste richtige Regel, mit der man in der Analysis konfrontiert wird, und auch die einzige Regel der Differentialrechnung, an die man sich nach vielen Jahren nach der Schule noch erinnern kann.
Definition
Sei f(x) eine Funktion, sodass
\( \large{ \begin{align}
f(x) &= x^n, \quad n \in\mathbb{R}
\end{align} } \)
dann gilt
\( \large{ f^{\prime}(x) = n\cdot x^{n-1} } \)
Herleitung
\( f(x) = x^n,\quad n\in\mathbb{R} \)
\( \begin{align}
f^{\prime}(x) \;\;&=\;\; \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\;\; \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}
\end{align} \)
Mit der binomischen Erweiterung multiplizieren wir den Term aus:
\( \begin{align*}
&= \lim_{h \to 0} {\frac{ {n \choose 0} x^n \;+\; {n \choose 1} x^{n-1}\cdot h \;+\; {n \choose 2} x^{n-2}\cdot h^2 \;+\; \cdots \;+\; {n \choose n-1} x\cdot h^{n-1} \;+\; {n \choose n} h^n – x^n} h} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\frac{\left [x^n\;+\;n\cdot x^{n-1}\cdot h \;+\; \tfrac{1}{2}n\left ( n-1 \right )\cdot x^{n-2}\cdot h^2 \;+\; \cdots \;+\; n\cdot x\cdot h^{n-1}\;+\;h^n \right ]-x^n}{h} \\[2ex] &=\; \lim_{h\to 0}\frac{\obrace[(x+h)-x = h]{\left [(x+h) \,-\, x\right ]} \cdot \left [(x+h)^{n-1} \,+\, (x+h)^{n-2x} \,+\, \cdots \,+\, x^{n-1} \right ]}{h} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\frac{\cancel{h}\cdot \left [(x+h)^{n-1} \,+\, (x+h)^{n-2x} \,+\, \cdots \,+\, x^{n-1} \right ]}{\cancel{h}} \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left [(x+h)^{n-1} \,+\, (x+h)^{n-2x} \,+\, \cdots \,+\, x^{n-1} \right ] \\[2ex] &= x^{n-1} \,+\, x^{n-1} \,+\, \ldots \,+\, x^{n-1} \\[2ex] &= n\cdot x^{n-1}
\end{align*} \)
Erklärung
- Term mit der binomischen Erweiterung und mit Binominialkoeffizienten ausmultiplizieren
- Umschreiben
- (x+h)-x faktorisieren; (x+h)-x entspricht h
- h im Zähler und Nenner kürzt sich weg
- Vereinfachen
- Grenzwert bestimmen
- Wir haben n mal den Term xn-1…
- … den wir auch als n · xn-1 schreiben können
