Beweis für die Ableitung von tan(x)
Beweis, dass sec²(x) die Ableitung von tan(x) ist.
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Big( \tan(x) \Big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\cos(x)\cdot \big(\sin(x)\big)^{\prime} – \sin(x)\cdot \big(\cos(x)\big)^{\prime}}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{\cos(x)\cdot \cos(x) – \sin(x)\cdot \big( -\sin(x) \big)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{1}{\cos^2(x)} \;=\; \sec^2(x)
\end{align*} \)
Erklärung
- Tangens mittels trigonometrischer Identitäten als Quotient von Sinus und Kosinus umschreiben (wir wissen, dass sin(x) abgeleitet cos(x) ergibt und die Ableitung von cos(x) -sin(x) ist)
- Quotient mit Hilfe der Quotientenregel ableiten
- Ableiten
- Zusammenfassen
- Der Zähler lässt sich mit Hilfe einer trigonometrischen Identität als 1 umschreiben
- Umschreiben
Q.E.D.
