Beweis für die Ableitung von tan(x)

Beweis, dass sec²(x) die Ableitung von tan(x) ist.

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Big( \tan(x) \Big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\cos(x)\cdot \big(\sin(x)\big)' - \sin(x)\cdot \big(\cos(x)\big)'}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{\cos(x)\cdot \cos(x) - \sin(x)\cdot \big( -\sin(x) \big)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{1}{\cos^2(x)} \;=\; \sec^2(x)

Erklärung

  1. Tangens mittels trigonometrischer Identitäten als Quotient von Sinus und Kosinus umschreiben (wir wissen, dass sin(x) abgeleitet cos(x) ergibt und die Ableitung von cos(x) -sin(x) ist)
  2. Quotient mit Hilfe der Quotientenregel ableiten
  3. Ableiten
  4. Zusammenfassen
  5. Der Zähler lässt sich mit Hilfe einer trigonometrischen Identität als 1 umschreiben
  6. Umschreiben

Q.E.D.