Beweis für die Ableitung von tanh(x)
Beweis, dass sech²(x) die Ableitung von tanh(x) ist.
Der Beweis wird ähnlich geführt, wie der Beweis, dass sec²(x) die Ableitung der Tangensfunktion ist. Dies liegt hauptsächlich daran, dass der hyperbolische Tangens auch ähnlich definiert ist, wie sein trigonometrisches Gegenstück.
Erklärung
- Gemäß seiner Definition lässt sich der hyperbolische Tangens als Quotient des hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus schreiben.
- Da wir nun einen Quotienten ableiten wollen, können wir die Quotientenregel verwenden.
- Wie schon in anderen Artikeln bewiesen, ist die Ableitung vom hyperbolischen Sinus der hyperbolische Kosinus und umgekehrt.
- Eine der grundlegenden trigonometrischen Identitäten ist der Zusammenhang zwischen dem Quadrat des Sinus und dem Quadrat des Kosinus. Sie besagt, dass sin²(x)+cos²(x) = 1. Ein ähnlicher Zusammenhang gilt auch für den hyperbolischen Sinus und Kosinus, der in diesem Fall besagt, dass cosh²(x)-sinh²(x) = 1.
- Dadurch lässt sich der Bruch weiter vereinfachen. Am Ende bleibt
welcher definitionsgemäß dem hyperbolischen Sekans entspricht.
Q.E.D.