Beweis für die Ableitung von tanh(x)
Beweis, dass sech²(x) die Ableitung von tanh(x) ist.
Der Beweis wird ähnlich geführt, wie der Beweis, dass sec²(x) die Ableitung der Tangensfunktion ist. Dies liegt hauptsächlich daran, dass der hyperbolische Tangens auch ähnlich definiert ist, wie sein trigonometrisches Gegenstück.
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Big( \tanh(x) \Big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \right ) \\[2ex] &= \frac{\cosh(x)\cdot \big(\sinh(x)\big)^{\prime} – \sinh(x)\cdot \big(\cosh(x)\big)^{\prime}}{\cosh^2(x)} \\[2ex] &= \frac{\cosh(x)\cdot \cosh(x) – \sinh(x)\cdot \sinh(x) }{\cosh^2(x)} \\ &= \frac{\obrace[1]{\cosh^2(x) – \sinh^2(x)}}{\cosh^2(x)} \\[2ex] &= \frac{1}{\cosh^2(x)} \;=\; \mathrm{sech}^2(x)
\end{align*} \)
Erklärung
- Gemäß seiner Definition lässt sich der hyperbolische Tangens als Quotient des hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus schreiben.
- Da wir nun einen Quotienten ableiten wollen, können wir die Quotientenregel verwenden.
- Wie schon in anderen Artikeln bewiesen, ist die Ableitung vom hyperbolischen Sinus der hyperbolische Kosinus und umgekehrt.
- Eine der grundlegenden trigonometrischen Identitäten ist der Zusammenhang zwischen dem Quadrat des Sinus und dem Quadrat des Kosinus. Sie besagt, dass sin²(x)+cos²(x) = 1. Ein ähnlicher Zusammenhang gilt auch für den hyperbolischen Sinus und Kosinus, der in diesem Fall besagt, dass cosh²(x)-sinh²(x) = 1.
- Dadurch lässt sich der Bruch weiter vereinfachen. Am Ende bleibt \( \dfrac{1}{\cosh^2(x)} \) welcher definitionsgemäß dem hyperbolischen Sekans entspricht.
Q.E.D.
