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Beweis für die Ableitung von tanh(x)

Beweis, dass sech²(x) die Ableitung von tanh(x) ist.

Der Beweis wird ähnlich geführt, wie der Beweis,  dass sec²(x) die Ableitung der Tangensfunktion ist. Dies liegt hauptsächlich daran, dass der hyperbolische Tangens auch ähnlich definiert ist, wie sein trigonometrisches Gegenstück.

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Big( \tanh(x) \Big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \right ) \\[2ex] &= \frac{\cosh(x)\cdot \big(\sinh(x)\big)' - \sinh(x)\cdot \big(\cosh(x)\big)'}{\cosh^2(x)} \\[2ex] &= \frac{\cosh(x)\cdot \cosh(x) - \sinh(x)\cdot \sinh(x) }{\cosh^2(x)} \\ &= \frac{\obrace[1]{\cosh^2(x) - \sinh^2(x)}}{\cosh^2(x)} \\[2ex] &= \frac{1}{\cosh^2(x)} \;=\; \mathrm{sech}^2(x)

Erklärung

  1. Gemäß seiner Definition lässt sich der hyperbolische Tangens als Quotient des hyperbolischen Sinus und hyperbolischen Kosinus schreiben.
  2. Da wir nun einen Quotienten ableiten wollen, können wir die Quotientenregel verwenden.
  3. Wie schon in anderen Artikeln bewiesen, ist die Ableitung vom hyperbolischen Sinus der hyperbolische Kosinus und umgekehrt.
  4. Eine der grundlegenden trigonometrischen Identitäten ist der Zusammenhang zwischen dem Quadrat des Sinus und dem Quadrat des Kosinus. Sie besagt, dass sin²(x)+cos²(x) = 1. Ein ähnlicher Zusammenhang gilt auch für den hyperbolischen Sinus und Kosinus, der in diesem Fall besagt, dass cosh²(x)-sinh²(x) = 1.
  5. Dadurch lässt sich der Bruch weiter vereinfachen. Am Ende bleibt \frac{1}{\cosh^2(x)} welcher definitionsgemäß dem hyperbolischen Sekans entspricht.

Q.E.D.