Beweis für die Ableitung von sinh(x)
Beweis, dass cosh(x) die Ableitung von sinh(x) ist.
Definitionsgemäß entspricht der Sinus Hyperbolicus: \( \sinh(x) \;=\; \frac {e^x – e^{-x}} {2} \). Mit dieser Definition wird der folgende Beweis geführt werden.
\( \begin{align*}
f(x) &= \sinh(x) \;=\; \frac {e^x – e^{-x}} {2} \\[2.5ex]
f^{\prime}(x) &= \frac{1}{2}\cdot \left ( e^x – e^{-x} \right )^\prime \\[2ex]
&= \frac{1}{2}\cdot \big( e^x \big )^\prime – \frac{1}{2}\cdot \big( e^{-x} \big)^\prime \\[2ex]
&= \frac{1}{2}\cdot e^x – \frac{1}{2}\cdot \big( -e^{-x} \big) \\[2ex]
&= \frac{1}{2}\cdot e^x + \frac{1}{2}\cdot e^{-x} \;=\; \frac{e^x +e^{-x}}{2} \;=\; \cosh(x)
\end{align*} \)
Erklärung
- Der hyperbolische Sinus kann, wie alle hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, als Exponentialfunktion mit der natürlichen Basis e geschrieben werden. Da der hyperbolische Sinus und diese Exponentialschreibweise identisch sind, sind auch ihre Ableitungen identisch.
- ½ kann als konstanter Faktor aus dem Ausdruck faktorisiert werden.
- Gemäß der Summenregel schreiben wir die Differenz beider Exponentialfunktionen als zwei eigenständige Ableitungen.
- Die Ableitung einer e-Funktion gehört zu den einfachsten der Differenzialrechnung. Die Ableitung von ex ist wiederum ex, während die Ableitung von e-x nur einen Vorzeichenwechsel erfährt und zu -e-x wird.
- Nachdem alle Klammern entfernt wurden, erhalten wir als Ergebnis der Differenzierung @@ \frac{e^x +e^{-x}}{2} @@. Dieser Wert entspricht der Definition des hyperbolischen Kosinus. Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Sinus der hyperbolische Kosinus.
Q.E.D.
