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Beweis für die Ableitung von sinh(x)

Beweis, dass cosh(x) die Ableitung von sinh(x) ist.

Definitionsgemäß entspricht der Sinus Hyperbolicus: \sinh(x) \;=\; \frac {e^x - e^{-x}} {2}. Mit dieser Definition wird der folgende Beweis geführt werden.

f(x) &\;=\; \sinh(x) \;=\; \frac {e^x - e^{-x}} {2} \\[2.5ex] f'(x) &= \frac{1}{2}\cdot \left ( e^x - e^{-x} \right )^\prime \\[2ex] &= \frac{1}{2}\cdot \big( e^x \big )^\prime - \frac{1}{2}\cdot \big( e^{-x} \big)^\prime \\[2ex] &= \frac{1}{2}\cdot e^x \big - \frac{1}{2}\cdot \big( -e^{-x} \big) \\[2ex] &= \frac{1}{2}\cdot e^x + \frac{1}{2}\cdot e^{-x} \;=\; \frac{e^x +e^{-x}}{2} \;=\; \cosh(x)

Erklärung

  1. Der hyperbolische Sinus kann, wie alle hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen, als Exponentialfunktion mit der natürlichen Basis e geschrieben werden. Da der hyperbolische Sinus und diese Exponentialschreibweise identisch sind, sind auch ihre Ableitungen identisch.
  2. ½ kann als konstanter Faktor aus dem Ausdruck faktorisiert werden.
  3. Gemäß der Summenregel schreiben wir die Differenz beider Exponentialfunktionen als zwei eigenständige Ableitungen.
  4. Die Ableitung einer e-Funktion gehört zu den einfachsten der Differenzialrechnung. Die Ableitung von ex ist wiederum ex, während die Ableitung von e-x nur einen Vorzeichenwechsel erfährt und zu -e-x wird.
  5. Nachdem alle Klammern entfernt wurden, erhalten wir als Ergebnis der Differenzierung  \frac{e^x +e^{-x}}{2}. Dieser Wert entspricht der Definition des hyperbolischen Kosinus. Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Sinus der hyperbolische Kosinus.

Q.E.D.