Ableitung einer Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht. 2x, πx und ax sind alles Exponentialfunktionen. Die Funktion ex ist eine besondere Exponentialfunktion, wie wir in diesem Artikel noch sehen werden.
Um die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion ax zu finden, benutzen wir die Definition der Ableitung, den Differentialquotienten:
Wir sehen, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion ax mal eine konstante Zahl L ist. L lässt sich aus dem Grenzwert herleiten und verändert sich, wenn sich a auch verändert. An dem Punkt x = 0 ist allerdings der Grenzwert und damit auch die Ableitung immer L:
| Die Position des Graphen \( \footnotesize{ y\,=\,\frac{a^h-1}{h} } \) verändert sich für verschiedene Werte von a. Der Grenzwert von y für h→0 verändert sich ebenso. Die Zahl e (hier grün), die zwischen 2.5 und 3 liegt, ist die einzige Zahl, für die der Grenzwert 1 ist. |
Der Grenzwert L ist also die Steigung der Tangente an der y-Achse. In der Abbildung rechts sehen wir den Graphen der Funktion @@ y=(a^h-1)/h @@ für vier verschiedene Werte:
- a = 2 (blau) => L ≈ 0,69
- a = 2,5 (rot) => L ≈ 0,92
- a = e (grün) => L = 1
- a = 3 (gelb) => L ≈ 1,10
Der rote Punkt ist bei 1 auf der y-Achse gesetzt. Wie wir sehen können, schneidet die Funktion y bei einem Wert, der zwischen 2,5 und 3 liegt, die y-Achse bei 1. Diese Zahl ist die Eulersche Zahl e ≈ 2,7182818284590452… Eine Exponentionalfunktion mit der Basis e wird auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.
Die Tatsache, dass L = 1 ist, impliziert einen wichtigen Zusammenhang zwischen der natürlichen Exponentialfunltion und ihrer Ableitung:
Die natürliche Exponentialfunktion ex ist ihre eigene Ableitung.
Die Ableitung von eg(x)
Nun da wir gezeigt haben, dass ex seine eigene Ableitung ist, werden wir im nächsten Schritt kompliziertere e-Funktionen ableiten. Funktionen, wie eg(x), die aus den Funktionen ex und g(x) bestehen, bezeichnet man als verkettete Funktionen. Sie werden mit der Kettenregel abgeleitet. Sie besagt, dass:
Da aber ex mit seiner Ableitung identisch ist, können wir die Kettenregel für diesen speziellen Fall vereinfachen:
Die Ableitung einer Exponentialfunktion zur Basis e ist:
Beispiel
Bestimme die Ableitung von: \( \large{ e^\br{2x^2+4x} } \)
Gemäß der vereinfachten Formel der Kettenregel, können wir diese e-Funktion direkt ableiten:
\( (e^{(2x^2+4x)})^{\prime} = (2x^2+4x)^{\prime}\cdot e^{(2x^2+4x)} = (4x+4)\cdot e^{(2x^2+4x)} \)
Wichtig: Nicht die Klammern um g'(x) zu vergessen, da es eine Summe ist.
Weitere Beispiele
| Aufgabe | Ableitung | Ergebnis |
|---|---|---|
| @@ e^sin(x) @@ | \( (\sin(x))^{\prime}\cdot e^{\sin(x)} \) |
\( \cos(x)\cdot e^{\sin(x)} \) |
| @@ e^(x^(-1)) @@ | \( (x^{(-1)})^{\prime}\cdot e^{(x^{(-1)})} \) |
\( -x^{(-2)}\cdot e^{(x^{(-1)})} \) |
| @@ e^(e^(x)) @@ | \( (e^{(x)})^{\prime}\cdot e^{(e^{(x)})} \) |
\( e^{(x)}\cdot e^{(e^{x})} = e^{(e^{x}+x)} \) |
Die Ableitung von ax
Nachdem wir die Ableitung im speziellen Fall ex untersucht haben, beschäftigen wir uns jetzt mit dem allgemeinen Fall ax. Dies verlangt, dass wir uns noch einmal zwei Aussagen über Logarithmen anschauen:
- Der natürliche Logarithmus (ln = logarithmus naturalis) ist der Logarithmus zur Basis e. Er ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion:
\( \large{ \log_e(x)\;\;=\;\;\ln(x)\quad\Rightarrow\quad\ln\br{e^x} \;\;=\;\; x } \) - Jede Exponentialfunktion kann zur Basis e mit dem natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden
\( \large{ a^x\;\;=\;\;e^{x\cdot\ln\br{a}} } \)
Wir können also jede Exponentialfunktion ax zur Basis der natürlichen Exponentialfunktion ausdrücken. Wir haben bereits die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, wenn der Exponent x ist, ermittelt, nun müssen wir auch hier noch den allgemeinen Fall ef(x) klären. Diese Funktion kann mit der Kettenregel abgeleitet werden:
Daraus können wir die Ableitung einer Exponentialfunktion allgemein herleiten:
