Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Treffer oder Niete) nennt man Bernoulli-Experiment.

In der Praxis, kann ein Bernoulli-Experiment als ein Experiment mit zwei Ergebnissen verstanden werden. Die Ereignisse können als Ja- und Nein-Fragen formuliert werden:

Ist die Münze mit dem Kopf nach oben gelandet?

Ist beim Würfel die Sechs gefallen?
War das Neugeborene ein Junge?

Definition

Ein Experiment, dass nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder Niete) hat, heißt Bernoulli-Experiment. Wenn p die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist, ist 1-p die Gegenwahrscheinlichkeit.

Wenn ein Bernoulli-Experiment mehrmals (n-mal) durchgeführt wird, spricht man von einem n-stufigen Bernoulli-Experiment oder einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die Wahrscheinlichkeit k Treffer zu erzielen ist:

$ \large{ \displaystyle P(k)\;=\;{n \choose k} p^k \cdot(1-p)^{n-k} } $

Deshalb sind Erfolg und Misserfolg oder Treffer und Niete lediglich Bezeichnungen für die Ergebnisse, und sollte nicht wörtlich verstanden werden. Beispiele für Bernoulli-Versuchen sind:

Das Werfen einer Münze. In diesem Zusammenhang würde man es als Treffer bezeichnen wenn man Kopf hätte und als Niete bei Zahl (oder auch andersherum). Eine faire Münze hat die Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder 50% per Definition.
Das Werfen eines Würfels. Eine sechs wäre ein Treffer, alle anderen Zahlen Nieten.

Bei der Durchführung einer politischen Meinungsumfrage. Die Wahl eines Wählers erfolgt zufällig. Festgestellt werden soll, ob der Wähler mit „Ja“ oder mit „Nein“ abgestimmt hat, wobei ein „Ja“ einen Treffer darstellen würde und ein „Nein“ eine Niete.

Beispiel

Ein Würfel wird zehn Mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus den zehn Würfen genau zwei Mal die Zahl 6 geworfen wird?

Wir führen ein Bernoulli-Experiment der Länge 10 durch, wobei die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ¹/₆ ist und k=2. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit:

$ \displaystyle P(2) \;=\; {n \choose k} p^k \cdot(1-p)^{n-k} \;=\; {10 \choose 2} \cdot\br{\frac{1}{6}}^2 \cdot\br{1-\frac{1}{6}}^{10-2} \;\approx\; 0{,}2907 $

Bernoulli-Rechner

Mit dem Rechner können genaue Werte für das Bernoulli-Experiment berechnet werden. Berechnet wird

P(X = k) [„genau“],

P(X ≤ k) [„höchstens“] und
P(X ≥ k) [„mindestens“].

Anzahl der Versuche

$ {\color{gray}{ n\in \mathbb{N} }} $

Anzahl der Erfolge

$ {\color{gray}{ k\in \mathbb{N},\;\; n\geq k }} $

Erfolgswahrscheinlichkeit

$ {\color{gray}{ 0 < p < 1 }} $

Alle Berechnungen werden mit R durchgeführt

$$ \large P(X=k) \,=\, f(k;\, n,\, p) \,=\, {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$

Berechnungsergebnis

f(k; n, p) =

$$ \large F(k;\, n,\, p) \,=\, P(X \le k) \,=\, \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =

$$ \large P(X \ge k) \,=\, \sum_{i=\lfloor k \rfloor}^{n} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =