Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus
Die komplette Herleitung der Stammfunktion des natürlichen Logarithmus mit Schritt-für-Schritt Erklärung.
Herleitung
\( \begin{align*}
&\hphantom{=}\int \ln(x) \;\mathrm{d}x \\[2ex] &= \int 1\cdot\ln(x) \;\mathrm{d}x \\[2ex] &= \int \ubrace[g^{\prime}(x)]{1\vphantom{()}}\cdot\,\ubrace[f(x)]{\ln(x)} \;\mathrm{d}x \\[2ex] &\qquad\Rightarrow\;\; \begin{matrix}f(x) & = & \ln(x) & f^{\prime}(x) & = & \frac{1}{x}\\ g^{\prime}(x) & = & 1 & g(x) & = & x\end{matrix} \\[2ex] &= \int g^{\prime}(x)\cdot f(x) \;\mathrm{d}x \;\;=\;\; f(x) \cdot g(x) – \int f^{\prime}(x) \cdot g(x) \;\mathrm{d}x \qquad =\;\; \ubrace[f(x)]{\ln(x)}\;\cdot \ubrace[g(x)]{x\vphantom{()}} – \int \ubrace[f^{\prime}(x)]{\frac{1}{x}}\cdot \ubrace[g(x)]{x\vphantom{\frac{1}{x}}}\;\mathrm{d}x \\[2ex] &\qquad\Rightarrow \int \frac{1}{x}\cdot x\;\mathrm{d}x = \int 1\;\mathrm{d}x = x \\[2ex] &= \;\boxed{\ln(x)\cdot x – x}\quad\blacksquare
\end{align*} \)
Erklärung
- Gesucht ist das Integral der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x)
- Integriert wird mit partieller Integration, auch Produktintegration genannt. Wie der Name schon impliziert, benötigt die Produktintegration ein Produkt, das integriert werden kann. Hier bedienen wir uns eines Tricks: wir multiplizieren den Integranden mal 1, was ihn nicht verändert, was und aber gleichzeitig ein Produkt verschafft, das wir integrieren können.
- Bei partieller Integration, ist die Wahl von f(x) und g'(x) wichtig (siehe dazu auch den Artikel zu partieller Integration), da sich bei einer falschen Wahl der Arbeitsaufwand erheblich steigert. Wir wählen g'(x) = 1 und f(x) = ln(x).
- g'(x) müssen wir nun integrieren, während wir f(x) ableiten müssen. Für beide Funktionen ist ihre jeweilige Stammfunktion bzw. Ableitung mühelos zu ermitteln.
- Als nächstes setzen wir die berechneten Stammfunktionen bzw. Ableitungen von f(x) und g(x) in die Formel für die partielle Integration ein.
- Es ergibt sich ein weiteres Integral, dass noch gelöst werden muss. Der Integrad kürzt sich von x/x zu 1, und kann so einfach integriert werden.
- Das Integral ist nun berechnet und vervollständigt die Formel für partielle Integration aus (5).
