Integrationsregeln
Hier haben wir die wichtigsten Integrationsformeln und -regeln in einer Liste zusammengefasst.
Stammfunktionen bekannter Funktionen
| Funktion | Stammfunktion |
|---|---|
| @@ 0 @@ | @@ 0 @@ |
| @@ c @@ | @@ c*x @@ |
| @@ x^n, n != -1 @@ | @@ (x^(n+1))/(n+1) @@ |
| @@ x^(-1) = 1/x @@ | @@ ln(x) @@ |
| @@ x @@ | @@ x^2/2 @@ |
| @@ x^2 @@ | @@ x^3/3 @@ |
| @@ x^3 @@ | @@ x^4/4 @@ |
| @@ 1/sqrt(x) @@ | @@ 2*sqrt(x) @@ |
| @@ e^x @@ | @@ e^x @@ |
| @@ e^(k*x), k in RR @@ | @@ (e^(k*x))/k @@ |
| @@ a^x, a in RR @@ | @@ (a^x)/ln(a) @@ |
Trigonometrische Funktionen
| Funktion | Stammfunktion | Umkehrfunktion | Stammfunktion der Umkehrfunktion |
|---|---|---|---|
\( \mathbf{\sin}(x) \) |
\( -\cos(x) \) |
\( \sin^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{asin}\left( x\right) +\sqrt{1-{x}^{2}} \) |
\( \cos(x) \) |
\( \sin(x) \) |
\( \cos^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{acos}\left( x\right) -\sqrt{1-{x}^{2}} \) |
\( \tan(x) \) |
\( \log\big(\sec(x)\big) \) |
\( \tan^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{atan}\left( x\right) -\frac{\mathrm{log}\left( {x}^{2}+1\right) }{2} \) |
\( \sec(x) \) |
\( \mathrm{log}\big( \mathrm{tan}\left( x\right) +\mathrm{sec}\left( x\right) \big) \) |
\( \sec^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{sec}^{-1}\left( x\right) -\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}+1\right) }{2}+\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}-1\right) }{2} \) |
\( \csc(x) \) |
\( -\mathrm{log}\big( \mathrm{csc}\left( x\right) +\mathrm{cot}\left( x\right) \big) \) |
\( \csc^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{csc}^{-1}\left( x\right) +\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}+1\right) }{2}-\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}-1\right) }{2} \) |
\( \cot(x) \) |
\( \log\big(\sin(x)\big) \) |
\( \cot^{-1}(x) \) |
\( \frac{\mathrm{log}\left( {x}^{2}+1\right) }{2}+x\cdot\mathrm{cot}^{-1}\left( x\right) \) |
\( \sinh(x) \) |
\( \cosh(x) \) |
\( \sinh^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{sinh}^{-1}\left( x\right) -\sqrt{{x}^{2}+1} \) |
\( \cosh(x) \) |
\( \sinh(x) \) |
\( \cosh^{-1}(x) \) |
\( x\cdot\mathrm{cosh}^{-1}\left( x\right) -\sqrt{{x}^{2}-1} \) |
\( \tanh(x) \) |
\( \log\big(\cosh(x)\big) \) |
\( \tanh^{-1}(x) \) |
\( \frac{\mathrm{log}\left( 1-{x}^{2}\right) }{2}+x\cdot\mathrm{tanh}^{-1}\left( x\right) \) |
Regeln
Faktorregel
\( \Large{ \int c\cdot f(x)\,\mathrm{d}x \;=\; c\cdot \int f(x)\,\mathrm{d}x } \)
Summenregel
\( \Large{ \int \Big [ f(x)+g(x) \Big ]\,\mathrm{d}x \;=\; \int f(x)\,\mathrm{d}x + \int g(x)\,\mathrm{d}x } \)
Partielle Integration
\( \Large{ \int f(x)\cdot g^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \Big[ f(x)\cdot g(x) \Big]-\int f^{\prime}(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x } \)
Integration per Substitution
\( \Large{ \int_{a}^{b} f\big(g(t)\big) \cdot g^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,\mathrm{d}x } \)