\( \newcommand{\br}[1]{\left( #1\right)} \newcommand{\logpar}[1]{\log\left( #1\right)} \newcommand{\cospar}[1]{\cos\left( #1\right)} \newcommand{\sinpar}[1]{\sin\left( #1\right)} \newcommand{\tanpar}[1]{\tan\left( #1\right)} \newcommand{\arcsinpar}[1]{\sin^{-1}\!\left( #1\right)} \newcommand{\arccospar}[1]{\cos^{-1}\!\left( #1\right)} \newcommand{\arctanpar}[1]{\tan^{-1}\!\left( #1\right)} \newcommand{\asin}[1]{\sin^{-1}\! #1} \newcommand{\acos}[1]{\cos^{-1}\! #1} \newcommand{\atan}[1]{\tan^{-1}\! #1} \newcommand{\asinh}[1]{\sinh^{-1}\! #1} \newcommand{\acosh}[1]{\cosh^{-1}\! #1} \newcommand{\atanh}[1]{\tanh^{-1}\! #1} \newcommand{\logten}[1]{\log_{10}\! #1} \definecolor{explaination}{RGB}{0, 166, 226} \newcommand{\ubrace}[2][u]{ { \color{explaination}{\underbrace{ {\color{black}{#2}} }_{#1}} } } \newcommand{\obrace}[2][u]{ { \color{explaination}{\overbrace{ {\color{black}{#2}} }^{#1}} } } \definecolor{highlight}{RGB}{181, 41, 118} \newcommand{\xplain}[1]{{ \textcolor{explaination} { \footnotesize{ #1 \newline}}}} \newcommand{\hilite}[1]{{ \textcolor{highlight} { { #1 }}}} \definecolor{lightergray}{gray}{.675} \newcommand{\hide}[1]{{ \textcolor{lightergray} { \footnotesize{ #1 \newline}}}} \newcommand{\mth}[1]{ { \textcolor{black} { { \small #1 } } } } \)

Integrationsregeln

Hier haben wir die wichtigsten Integrationsformeln und -regeln in einer Liste zusammengefasst.

Stammfunktionen bekannter Funktionen

Funktion Stammfunktion
@@ 0 @@ @@ 0 @@
@@ c @@ @@ c*x @@
@@ x^n, n != -1 @@ @@ (x^(n+1))/(n+1) @@
@@ x^(-1) = 1/x @@ @@ ln(x) @@
@@ x @@ @@ x^2/2 @@
@@ x^2 @@ @@ x^3/3 @@
@@ x^3 @@ @@ x^4/4 @@
@@ 1/sqrt(x) @@ @@ 2*sqrt(x) @@
@@ e^x @@ @@ e^x @@
@@ e^(k*x), k in RR @@ @@ (e^(k*x))/k @@
@@ a^x, a in RR @@ @@ (a^x)/ln(a) @@

Trigonometrische Funktionen

Funktion Stammfunktion Umkehrfunktion Stammfunktion der Umkehrfunktion
\( \mathbf{\sin}(x) \)
\( -\cos(x) \)
\( \sin^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{asin}\left( x\right) +\sqrt{1-{x}^{2}} \)
\( \cos(x) \)
\( \sin(x) \)
\( \cos^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{acos}\left( x\right) -\sqrt{1-{x}^{2}} \)
\( \tan(x) \)
\( \log\big(\sec(x)\big) \)
\( \tan^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{atan}\left( x\right) -\frac{\mathrm{log}\left( {x}^{2}+1\right) }{2} \)
\( \sec(x) \)
\( \mathrm{log}\big( \mathrm{tan}\left( x\right) +\mathrm{sec}\left( x\right) \big) \)
\( \sec^{-1}(x) \)

\( x\cdot\mathrm{sec}^{-1}\left( x\right) -\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}+1\right) }{2}+\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}-1\right) }{2} \)

\( \csc(x) \)
\( -\mathrm{log}\big( \mathrm{csc}\left( x\right) +\mathrm{cot}\left( x\right) \big) \)
\( \csc^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{csc}^{-1}\left( x\right) +\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}+1\right) }{2}-\frac{\mathrm{log}\left( \sqrt{1-\frac{1}{{x}^{2}}}-1\right) }{2} \)
\( \cot(x) \)
\( \log\big(\sin(x)\big) \)
\( \cot^{-1}(x) \)
\( \frac{\mathrm{log}\left( {x}^{2}+1\right) }{2}+x\cdot\mathrm{cot}^{-1}\left( x\right) \)
\( \sinh(x) \)
\( \cosh(x) \)
\( \sinh^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{sinh}^{-1}\left( x\right) -\sqrt{{x}^{2}+1} \)
\( \cosh(x) \)
\( \sinh(x) \)
\( \cosh^{-1}(x) \)
\( x\cdot\mathrm{cosh}^{-1}\left( x\right) -\sqrt{{x}^{2}-1} \)
\( \tanh(x) \)
\( \log\big(\cosh(x)\big) \)
\( \tanh^{-1}(x) \)
\( \frac{\mathrm{log}\left( 1-{x}^{2}\right) }{2}+x\cdot\mathrm{tanh}^{-1}\left( x\right) \)

Regeln

Faktorregel

\( \Large{ \int c\cdot f(x)\,\mathrm{d}x \;=\; c\cdot \int f(x)\,\mathrm{d}x } \)

Summenregel

\( \Large{ \int \Big [ f(x)+g(x) \Big ]\,\mathrm{d}x \;=\; \int f(x)\,\mathrm{d}x + \int g(x)\,\mathrm{d}x } \)

Partielle Integration

\( \Large{ \int f(x)\cdot g^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x \;=\; \Big[ f(x)\cdot g(x) \Big]-\int f^{\prime}(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x } \)

Integration per Substitution

\( \Large{ \int_{a}^{b} f\big(g(t)\big) \cdot g^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,\mathrm{d}x } \)