Formelsammlung: ableiten

Die wichtigsten Formeln zum Ableiten im Überblick:

  • u, v und w sind Funktionen von x
  • c ist eine konstante Funktion (z.B. f(x)=3)

Allgemeine Regeln

\diff{c \cdot u}=c\cdot u' \diff{u \pm v}=u'\pm v' \diff{u \cdot v}=u'v+uv'
   
\diff{u \cdot v \cdot w}=u'vw+uv'w+uvw' \diff{u \over v}=\frac{vu'-uv'}{v^2} \diff{c}=0
   
\diff{x^n}=n\cdot x^{n-1} \diff{x}=1 \diff{e^{u}}=u'\cdot e^{u}
 
\diff{\ln\left({u}\right)}=\frac{u'}{u} \diff{\log_a({u})}=\frac{u'}{\ln( a)\cdot u} \diff{\left|{u}\right|}=\frac{u}{\left| u\right|}\,\,,\quad u\neq 0
 
\diff{a^x}={a}^{x}\cdot\mathrm{ln}(a) \diff{\vphantom{\mathrm{tanh}^{-1}}f\big(g(x)\big)}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)  

 

Trigonometrische Funktionen

\diff{\sin({x})}=\cospar{x} \diff{\cos({x})}=-\sinpar{x} \diff{\tan({x})}=\sec^2\br{x}
 
\diff{\sin^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \diff{\cos^{-1}({x})}=-\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \diff{\tan^{-1}({x})}=\frac{1}{{x}^{2}+1}
 
\diff{\cot({x})}=-{\mathrm{csc}(x) }^{2} \diff{\sec({x})}= \mathrm{sec}(x) \cdot\mathrm{tan}(x) \diff{\csc({x})}=-\mathrm{cot}(x) \cdot \mathrm{csc}(x)
 
\diff{\mathrm{cot}^{-1}({x})}=-\frac{1}{{x}^{2}+1} \diff{\mathrm{sec}^{-1}({x})}=\frac{1}{\left| x\right|\cdot\sqrt{{x}^{2}-1} } \diff{\mathrm{csc}^{-1}({x})}=-\frac{1}{\left| x\right|\cdot\sqrt{{x}^{2}-1} }

 

Hyperbolische Funktionen

\diff{\sinh({x})}=\cosh(x) \diff{\cosh({x})}=-\sinh(x) \diff{\tanh({x})}={\mathrm{sech}(x) }^{2}
   
\diff{\sinh^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}} \diff{\cosh^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}} \diff{\tanh^{-1}({x})}=\frac{1}{1-{x}^{2}}
 
\diff{\mathrm{coth}({x})}=-{\mathrm{csch}(x)}^{2} \diff{\mathrm{sech}({x})}=-\mathrm{sech}(x) \cdot \mathrm{tanh}(x) \diff{\mathrm{csch}({x})}=-\mathrm{coth}(x) \cdot\mathrm{csch}(x)