Formelsammlung: ableiten

Die wichtigsten Formeln zum Ableiten im Überblick:

u, v und w sind Funktionen von x
c ist eine konstante Funktion (z.B. f(x)=3)

Allgemeine Regeln

\( \diff{c \cdot u}=c\cdot u^{\prime} \)	\( \diff{u \pm v}=u’\pm v^{\prime} \)	\( \diff{u \cdot v}=u’v+uv^{\prime} \)

\( \diff{u \cdot v \cdot w}=u’vw+uv’w+uvw^{\prime} \)	\( \diff{u \over v}=\frac{vu^{\prime}-uv^{\prime}}{v^2} \)	\( \diff{c}=0 \)

\( \diff{x^n}=n\cdot x^{n-1} \)	\( \diff{x}=1 \)	\( \diff{e^{u}}=u’\cdot e^{u} \)

\( \diff{\ln\left({u}\right)}=\frac{u^{\prime}}{u} \)	\( \diff{\log_a({u})}=\frac{u^{\prime}}{\ln( a)\cdot u} \)	\( \diff{\left\|{u}\right\|}=\frac{u}{\left\| u\right\|}\,\,,\quad u\neq 0 \)

\( \diff{a^x}={a}^{x}\cdot\mathrm{ln}(a) \)	\( \diff{\vphantom{\mathrm{tanh}^{-1}}f\big(g(x)\big)}=f’\big(g(x)\big)\cdot g^{\prime}(x) \)

Trigonometrische Funktionen

\( \diff{\sin({x})}=\cospar{x} \)	\( \diff{\cos({x})}=-\sinpar{x} \)	\( \diff{\tan({x})}=\sec^2\br{x} \)

\( \diff{\sin^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \)	\( \diff{\cos^{-1}({x})}=-\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}} \)	\( \diff{\tan^{-1}({x})}=\frac{1}{{x}^{2}+1} \)

\( \diff{\cot({x})}=-{\mathrm{csc}(x) }^{2} \)	\( \diff{\sec({x})}= \mathrm{sec}(x) \cdot\mathrm{tan}(x) \)	\( \diff{\csc({x})}=-\mathrm{cot}(x) \cdot \mathrm{csc}(x) \)

\( \diff{\mathrm{cot}^{-1}({x})}=-\frac{1}{{x}^{2}+1} \)	\( \diff{\mathrm{sec}^{-1}({x})}=\frac{1}{\left\| x\right\|\cdot\sqrt{{x}^{2}-1} } \)	\( \diff{\mathrm{csc}^{-1}({x})}=-\frac{1}{\left\| x\right\|\cdot\sqrt{{x}^{2}-1} } \)

Hyperbolische Funktionen

\( \diff{\sinh({x})}=\cosh(x) \)	\( \diff{\cosh({x})}=-\sinh(x) \)	\( \diff{\tanh({x})}={\mathrm{sech}(x) }^{2} \)

\( \diff{\sinh^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}} \)	\( \diff{\cosh^{-1}({x})}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-1}} \)	\( \diff{\tanh^{-1}({x})}=\frac{1}{1-{x}^{2}} \)

\( \diff{\mathrm{coth}({x})}=-{\mathrm{csch}(x)}^{2} \)	\( \diff{\mathrm{sech}({x})}=-\mathrm{sech}(x) \cdot \mathrm{tanh}(x) \)	\( \diff{\mathrm{csch}({x})}=-\mathrm{coth}(x) \cdot\mathrm{csch}(x) \)