Wendetangente
Häufig fragen Aufgaben nicht nur nach der Tangente, sondern der Wendetangente. Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Sie hat die besondere Eigenschaft, dass sie eine Funktion meistens in mehr als einem einzigen Punkt schneidet. Denoch ist sie definitionsgemäß eine Tangente.
Um eine Wendetangente zu berechnen, müssen zuerst die Wendepunkte bestimmt werden. Die Wendepunkte sind die Berührungspunkte der Wendetangente. In ihnen ändert die Drehung der Kurventangente ihre Richtung (daher, eine Rechtskurve wird zu einer Linkskurve und eine Linkskurve zu einer Rechtskurve). Dazu brauchen wir die zweite und dritte Ableitung der Funktion. Gemäß dem hinreichenden und notwendigen Kriterium muss folgendes gelten, damit an der Stelle xW ein Wendepunkt existiert: \( f^{\prime}(x)=0\;\;\mathrm{und}\;\;f^{\prime\prime}(x)\neq 0 \).
Die Wendetangente einer Funktion f(x) in einem Wendepunkt W(xW; yW) ist durch folgende Formel gegeben:
Beispiel
Bestimme die Wendetangente folgender Funktion: f(x) = x³-2x+1- Zuerst bestimmen wir die zweite und dritte Ableitung. (In der Regel werden wir allerdings auch die erste Ableitung mitberechnen müssen.)
\( \begin{align} f^{\prime}(x) &= 3x^2-2 \\ f^{\prime}(x) &= 6x \\ f^{\prime\prime}(x) &= 6 \end{align} \) - Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null. Damit erhalten wir die Wendestellen:
\( \begin{align} f^{\prime}(x) &= 0 \\ 6x &= 0 \\ \Rightarrow x &= 0 \end{align} \) - Falls nach dem Wendepunkt und nicht nur der Wendestelle gefragt ist, müssen wir noch die y-Koordinate berechnen. Dazu setzen wir die berechnete Wendestelle in die Ausgangsfunktion (nicht in eine Ableitung!) ein:
\( W\big(x, f(x)\big) \,=\, W(0; 1) \)
(Die Wendestelle ist damit in dem Punkt W(0; 1), wie man auch rechts, in dem Graph der Funktion, sehen kann.) - Jetzt berechnen wir die Wendetangente. Aus der allgemeinen Gleichung einer Tangente folgt die Gleichung der Wendetangente:
\( \begin{align} t(x) &=\, f^{\prime}(x_W)\cdot\big( x-x_W \big)+f(x_W) \\[1ex] &=\, f^{\prime}(0)\cdot\big( x-0 \big)+f(0) \\[1ex] &=\, -2\cdot\big( x \big)+1 \\[1ex] &=\, -2x+1 \end{align} \)
Wendenormale
In seltenen Fällen ist nicht nach der Wendetangente, sondern der Wendenormale gefragt. Sie wird ähnlich der Wendetangente und analog zu einer Normale berechnet. Hierzu setzten wir die Werte nicht in die Formel der allgemeinen Tangentengleichung ein, sondern in die allgemeinen Normalengleichung.Für unser Beispiel wäre die Gleichung der Normale wie folgt:
