Normale

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Die Normale verläuft senkrecht (orthogonal) zur Tangente an diesem Berührungspunkt. Ihre Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Definition

Sei f(x) eine Funktion, die differenzierbar ist, dann ist die Normale an der Stelle a durch folgende Gleichung definiert:

@@ n(x) = -1/(f'(a))*(x-a)+f(a) @@

Wie man sehen kann, ähnent die allgemeine Normalengleichung stark der allgemeinen Tangentengleichung.

Normalengleichung aufstellen

Wie wollen die Gleichung der Normalen der Funktion f(x) an der Stelle a = 1 berechnen. Es gibt mehrere Methoden, wie wir dies tun können. Für alle Methoden benötigen wir jedoch die erste Ableitung.

Bei unserer Beispielfunktion f(x) = x² wäre die erste Ableitung f'(x) = 2 · x.

Methode #1

Die einfachere Methode ist, die allgemeine Normalengleichung (siehe Definition oben) zu benutzen. Dazu muss man sich allerdings die Gleichung oben merken, da sie in den meisten Formelsammlungen nicht vorhanden ist. Der Rest ist allerdings einfaches Einsetzen und Ausrechnen:

\( \begin{align} a &= 1 \\ f(x) &= x^2 \\ \Rightarrow\; f^{\prime}(x) &= 2\cdot x \\ n(x) &= -\frac{1}{f^{\prime}(a)}\cdot (x-a)+f(a) \\ &= -\frac{1}{f^{\prime}(1)}\cdot (x-1)+f(1) \\ &= {-\frac{x-1}{2} + 1} = \boxed{-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}} \end{align} \)

Methode #2

Die zweite Methode erfordert mehr Rechenaufwand, kann aber auch leichter, beispielsweise in einer Klausur, hergeleitet werden.

Zunächst müssen wir die Steigung der Tangente m_t an der gefragten Stelle a berechnen. Dazu benötigen wir die erste Ableitung:

m_t = f'(a) = f'(1) = 2

Damit zwei Steigungen rechtwinklig zueinander sind, muss ihr Produkt gleich -1 sein. Dies ist der Fall, wenn eine Steigung der negative Kehrwert der anderen ist. Die Steigung der Normalen m_n ist:

m_n = ^-1/_f'(a) = ^-1/₂

Da es sich bei der Normalen um eine Gerade handelt, erfüllt sie die allgemeine Geradengleichung y = m · x + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt sind. Wir kennen bereits den Wert von m, nun benötigen wir noch den Wert von b. Dazu müssen müssen wir noch die Koordinaten von dem Punkt, durch den die Normale verlaufen soll, als x und y einsetzen. Der Punkt hat eine x-Koordinate von a und eine y-Koordinate von f(a) und damit P(1; 1). Unsere Geradengleichung lautet somit:

1 = ^-1/₂ · (1) + b

Wenn wir nach b auflösen erhalten wir:

b = ³/₂

Die Gleichung der Normale lautet also

y = ^-1/₂ · x + ³/₂

und entspricht damit der Gleichung, die wir mit der ersten Methode aufgestellt hatten.