Beweis für die Ableitung des natürlichen Logarithmus
Hier der Beweis, dass x-1 die Ableitung des natürlichen Logarithmus (ln, vom lateinischen: logarithmus naturalis) ist.
Herleitung
Die Zahl e kann über verschiedene Methoden berechnet und hergeleitet werden. Eine der bekanntesten ist die Definition über einen Grenzwert. Demnach gilt: \( \displaystyle e^x = \lim_{n\to \infty}\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^n \). Dieser Grenzwert wird in leicht abgewandelter Form auch in diesem Beweis vorkommen.
\( \begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\Big(\ln(x)\Big) &= \lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h} & \qquad (1) \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{h}\cdot\ln\br{\frac{x+h}{x}}\right) & \qquad (2) \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left (\frac{1}{h}\cdot \ln\left ( 1+\frac{h}{x} \right ) \right ) & \qquad (3) \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left ({\xplain{\frac{x}{x}}}\cdot \frac{1}{h}\cdot \ln\left ( 1+\frac{h}{x} \right ) \right ) & \qquad (4) \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left (\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{h}\cdot \ln\left ( 1+\frac{h}{x} \right ) \right ) & \qquad (5) \\[2ex] &= \lim_{h\to 0}\left (\frac{1}{x}\cdot \ln\left ( 1+\frac{h}{x} \right )^\tfrac{x}{h} \right ) & \qquad (6) \\[2ex] &= \frac{1}{x}\cdot \lim_{h\to 0}\left (\ln\left ( 1+\frac{h}{x} \right )^\tfrac{x}{h} \right ) & \qquad (7) \\[1ex] &= \frac{1}{x}\cdot \ln\obrace[\text{Definition von e}]{\left ( \lim_{h\to 0}\left (1+\frac{h}{x} \right )^\tfrac{x}{h} \right ) } & \qquad (8) \\[1ex] &= \frac{1}{x}\cdot \obrace[1]{\ln\left ( e \right )} & \qquad (9) \\[2ex] &= \frac{1}{x}\quad\quad\blacksquare & \qquad (10)
\end{align} \)
Erklärung
- Die Herleitung der Ableitung wird, wie die meisten Herleitungen von Ableitungen, über die Definition der Ableitung geführt, dem Differentialquotienten.
- Über die Logarithmusgesetze kann die Differenz zweier Logarithmen als Quotient eines einzigen geschrieben werden. @@ 1/h @@ kann aus dem Term faktorisiert werden.
- Der Term innerhalb des Logarithmus kann weiter vereinfacht werden.
- Wir multiplizieren @@ x/x @@ mit dem Grenzwert. Auch wenn @@ x/x @@ gleich 1 ist, und damit scheinbar keinen Unterschied macht, wird die Beweisführung dadurch stark vereinfacht. Ein ähnlicher Schritt findet sich beispielsweise auch in der Herleitung der Produktregel.
- Da Multiplikation kommutativ ist, können wir die Zähler beider Brüche vertauschen.
- Gemäß des Logarithmusgesetzes können wir den Faktor eines Logarithmus als Potenz des Logarithmus schreiben.
- Da @@ 1/x @@ keine Variable enthält, die vom Grenzwert beeinflusst wird, können wir den Wert aus dem Grenzwert faktorisieren.
- Wenn wir jetzt den Term in dem Grenzwert und die Limes-Definition von e vergleichen, stellen wir fest, dass beide identisch sind. Wir können nun den Grenzwert berechnen…
- …und erhalten e als Ergebnis. Der natürliche Logarithmus hat e bereits als Basis und jetzt auch noch als Funktionswert. Gemäß der Definition des Logarithmus ist ln(e) = 1.
- Da 1 lediglich ein Faktor ist, wird er der Lesbarkeit halber weggelassen. Der Wert der übrig bleibt, ist @@ 1/x @@, die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
quod erat demonstrandum
