Beweis für die Ableitung der Betragsfunktion
Beweis, dass @@ x/|x| @@ die Ableitung der Betragsfunktion ist.
Beweis und Herleitung
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left | x \right | &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{x^2} \\[2ex] &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big ( x^2 \big )^{\tfrac{1}{2}} \\[2ex] &= \frac{1}{2}\cdot \big ( x^2 \big )^{-\tfrac{1}{2}}\cdot 2x \\[2ex] &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \\[2ex] &= \frac{x}{\left | x \right |}\qquad\blacksquare
\end{align*} \)
Erklärung
- Definition der Betragsfunktion für reelle Zahlen
- Eine Wurzel kann als Exponent geschrieben werden
- Ableitung mit der Kettenregel
- Funktion vereinfachen. Der Nenner der vereinfachten Funktion entspricht dabei der Definition der Betragsfunktion.
- Damit haben wir die Ableitung der Betragsfunktion.
