Beweis für die Ableitung der Betragsfunktion

Beweis, dass x/|x| die Ableitung der Betragsfunktion ist.

Beweis und Herleitung

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left | x \right | &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sqrt{x^2} \\[2ex] &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big ( x^2 \big )^{\tfrac{1}{2}} \\[2ex] &= \frac{1}{2}\cdot \big ( x^2 \big )^{-\tfrac{1}{2}}\cdot 2x \\[2ex] &= \frac{x}{\sqrt{x^2}} \\[2ex] &= \frac{x}{\left | x \right |}\qquad\blacksquare

Erklärung

  1. Definition der Betragsfunktion für reelle Zahlen
  2. Eine Wurzel kann als Exponent geschrieben werden
  3. Ableitung mit der Kettenregel
  4. Funktion vereinfachen. Der Nenner der vereinfachten Funktion entspricht dabei der Definition der Betragsfunktion.
  5. Damit haben wir die Ableitung der Betragsfunktion.