Absoluter Betrag

Geometrisch betrachtet ist der absolute Betrag (auch Absolutwert oder schlicht Betrag) einer reellen Zahl x die Strecke von x zu null auf dem Zahlenstrahl. Da Strecken immer positiv oder null sind, ist auch der Betrag jeder reellen Zahl x positive oder null: |x| ≥ 0.

Definition

\left |x  \right | = \begin{cases} \ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot{u}r}\ x \ge 0\\ \ \;\, - x &\mathrm{f\ddot{u}r}\ x  <  0 \end{cases}

Da die Quadratwurzel einer reellen Zahl immer positiv ist, kann die Betragsfunktion auch wie folgt definiert werden:

|x| = \sqrt{x^2}

Eigenschaften der Betragsfunktion

1. |-a| = |a| Symmetrie: Eine Zahl und ihr negatives Gegenstück haben den selben Betrag
2. |a\cdot b| = |a|\cdot|b| Multiplikativität: Der Betrag aus dem Produkt von a und b ist gleich dem Produkt des Betrags von a multipliziert mit dem Betrag von b
3. \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} (Auch) Multiplikativität: Der Betrag des Quotienten von a und b ist gleich dem Quotienten aus dem Betrag von a und dem Betrag von b
4. |a+b| \leq |a| + |b| Subadditivität: Der Betrag der Summe zweier Zahlen a und b wird immer geringer sein als der Betrag von a addiert mit dem Betrag von b
5. \big||x|\big| = |x| Idempotenz: Mehrmaliges Anwenden der Funktion verändert den Wert nicht

Betrag von komplexen Zahlen

Zum Hauptartikel komplexe Zahlen

Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als die Länge von dem Punkt (0; 0) zu dem Punkt der komplexen Zahl in der Gaußebene. Einfacher gesagt: der Betrag einer komplexen Zahl a+bi ist definiert als \left|a+bi\right| = \sqrt{a^2+b^2}. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und wird auch, ebenso wie die Hypothenuse, mit dem Satz des Pythagoras errechnet.