Komplexe Zahlen

Wie wir wissen, gibt es einige quadratische Gleichungen, die keine reelle Lösungen besitzen. Die Gleichung x² + 1 = 0 ist ein Beispiel dafür. Es gibt keine reelle Zahl, die -1 ist, wenn sie quadriert wird. Dennoch besitzt diese Gleichung zwei Lösungen – wenn auch keine reellen.

Um Gleichungen dieser Art zu lösen, muss die Menge der reellen Zahlen erweitert werden und zwar um die komplexen Zahlen. Gesucht ist eine Zahl, die wenn sie quadriert wird, -1 wird. Diese Zahl existiert und wird als imaginäre Zahl i bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert:

Definition

Die imaginäre Zahl i ist definiert als:

\( \Large{ i^2=-1 } \)

Nun können wir auch die Gleichung x² + 1 = 0 lösen:

\( \begin{align*} x^2+1&=0 \\ x^2&=-1 \\ x &= \sqrt{-1} \\ x &= i \end{align*} \)

Wie man an Schritt 3 sehen kann, sind auch Wurzeln von negativen Zahlen möglich. Das Ergebnis ist eine imaginäre Zahl.

Komplexe und imaginäre Zahlen

Komplexe Zahlen sind eine Kombination aus reellen und imaginären Zahlen. Sie haben einen reellen Teil und einen imaginären Teil. Dies ist so, da die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen erweitert. Daher sind alle reellen Zahlen auch in der Menge der komplexen Zahlen vorhanden. Eine komplexe Zahl wird wie folgt geschrieben:

Definition

\( \large{ z = \obrace[\text{komplexe Zahl}]{ \ubrace[\text{reell}]{x\vphantom{iy}} + \ubrace[\mathrm{imagin\ddot{a}r}]{iy} } } \)

Nicht alle komplexe Zahlen sind imaginäre Zahlen, aber alle imaginäre Zahlen sind komplexe Zahlen.

Verhältnis der Zahlenmenge zu einander

Rechnen mit komplexen Zahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen ist komplizierter als das Rechnen mit „normalen“ Zahlen. Addition und Subtraktion sind weitestgehend identisch, aber Multiplikation und Division unterscheiden sich erheblich.

Addition und Subtraktion

Für die Addition zweier komplexer Zahlen gilt:

\( \large{ (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)\cdot i } \)

Analog dazu funktioniert auch Subtraktion:

\( \large{ (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)\cdot i } \)

Multiplikation

Multiplikation mit komplexen Zahlen folgt dem Distributivgesetz. Dementsprechend gilt:

\( \large{ (a+b\,\mathrm{i})\cdot(c+d\,\mathrm{i})=(ac-bd) + (ad+bc)\cdot\mathrm i } \)

Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann auch eine reelle Zahl sein. Dies ist der Fall, wenn die Faktoren (a+bi) und (a-bi) sind. Dann ergibt sich nämlich:

\( \large{ \begin{align} (a+bi)\cdot(a-bi) &= a^2-a\cdot b\cdot \mathrm{i}+a\cdot b\cdot\mathrm{i}-b^2i^2 \\ &= a^2-b^2\cdot(-1) \\ &= a^2 + b^2 \end{align} } \)

Die Zahlen (a+bi) und (a-bi) nennt man konjugiert komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl besitzt ein konjugiert komplexes Gegenstück. Sie finden vor allem bei der Division Verwendung.

Division

Division ist die aufwändigste der genannten Rechenoperationen. Bevor eine komplexe Zahl durch eine andere geteilt werden kann, muss sie mit ihrem konjugiert komplexen Gegenstück multipliziert werden. Dies sorgt dafür, dass der Nenner reell wird.

\( \large{ \dfrac{a+b\,\mathrm i}{c+d\,\mathrm i} \;\;=\;\; \dfrac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} \;\;=\;\; \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\cdot\mathrm i \;\;=\;\; \dfrac{d\,\left( b-\mathrm i\,a\right)+c\,\left(\mathrm i\,b+a\right)}{{d}^{2}+{c}^{2}} } \)

Komplexe Zahlen graphisch darstellen

Komplexe Zahl und ihr konjugiert komplexes Gegenstück in der Gaußebene Komplexe Zahlen lassen sich – wie reelle Zahlen auch – auf einem Zahlenstrahl darstellen. Da komplexe Zahlen allerdings aus zwei Teilen bestehen, kann man sie nicht wie reelle Zahl eindimensional darstellen, sondern muss sie auf einer zweidimensionalen Ebene zeichnen. Diese Ebene wird auch Gaußebene genannt, und sieht auf den ersten Blick aus wie ein normales kartesisches Korrdinatensystem.

Allerdings wird dort, wo man die y-Achse vermuten würde, der Imaginärteil abgebildet. Die x-Achse hingegen stellt den Realteil dar.

Dank der starken Anlehnung an das kartesische Koordinatensystem, lassen sich komplexe Zahlen relativ intuitiv in der Gaußebene darstellen, wie in dem Beispielbild rechts zu sehen ist,

Polardarstellung

Zum Hauptartikel Polarkoordinaten

Da komplexe Zahlen sich wie Koordinaten verhalten, lassen sie sich auch in eine andere Koordinatenform bringen: die Polarform. Anstatt zwei Punkte im Raum, braucht man bei der Polardarstellung einen Winkel θ und eine Länge r. Ausgehend vom Ursprung kann so auch ein Punkt im Raum dargestellt werden.

Hauptsatz der Algebra

Der Hauptsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom des Grades n auch n Lösungen besitzt. Allerdings nur, wenn die Menge der komplexen Zahlen als Definitionsmenge genommen wird.

Beispiel

Finde alle Lösungen der Funktion f(x) = x³+ x²+ x. \( \mathbb{D} = \mathbb{C} \)

Bei der Gleichung handelt es sich um eine poylnomische Funktion dritten Grades. Nach dem Hauptsatz der Algebra muss sie also drei Lösungen in \( \mathbb{C} \) haben. Die erste Lösung lässt sich durch Faktorisieren ermitteln:

\( \begin{align} x^3 + x^2 + x &= x(x^2 + x + 1) \\ \Rightarrow x_1 &= 0 \end{align} \)

Um die anderen beiden Lösungen zu berechnen, müssen wir x²+ x + 1 null setzen. Dieses quadratische Polynom hat allerdings eine negative Diskriminante. Deshalb besitzt es keine weiteren reellen Lösungen. Um die die noch verbleibenden zwei komplexen Lösungen zu berechnen, greifen wir zu einer erweiterten Form der abc-Formel:

\( x_{1,2} = – \dfrac{b}{2a} \pm i \cdot \dfrac{\sqrt{4ac – b^2}}{2a} \)

Arbeitet man lieber mit der pq-Formel, so kann bei negativer Diskriminante die folgende Formel verwendet werden:

\( x_{1,2} = – \dfrac{p}{2} \pm i \cdot \sqrt{q – \left(\dfrac{p}2\right)^2} \)

Hiermit können wir nun die restlichen beiden Lösungen berechnen:

\( \begin{align} x^2 + x + 1 &= 0 \\ x_{1,2} &= – \dfrac{1}{2} \pm i \cdot \sqrt{1 – \left(\dfrac{1}2\right)^2} \\ \Rightarrow x_1 &= \dfrac{\sqrt{3}\,\mathrm i}{2}-\dfrac{1}{2} \\ x_2 &= -\dfrac{\sqrt{3}\,\mathrm i}{2}-\dfrac{1}{2} \end{align} \)