Binomialverteilung

Binominalverteilung und Normalverteilung Die Binomialverteilung ist die wichtigste Verteilung in der Oberstufe. Voraussetzung für die Verwendung der Binomialverteilung ist, dass a) das Experiment aus gleichen und von einander unabhängigen Versuchen besteht und b) die Versuche entweder als Ergebnis „Erfolg“ oder „Misserfolg“ haben dürfen.

Definition

Die Binomialverteilung ist definiert als:

$ \large{ P(X=k) \;=\; \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} } $

Berechnung von Erwartungswert (µ), Varianz (σ²) und Standardabweichung (σ) für die Anzahl der Versuche n, mit einer Wahrscheinlichkeit von p und einer Gegenwahrscheinlichkeit von q:

$ \large{ \begin{align} \mu &= n\cdot p \\ \sigma^2 &= n \cdot p\cdot (1-p) = n\cdot p\cdot q \\ \sigma &= \sqrt{n\cdot p\cdot q} \end{align} } $

Die Binomialverteilung ist linksschief, wenn wenn p > 0,5, rechtsschief wenn wenn p < 0,5 und bei p = 0,5 symmetrisch (siehe den Vergleich zwischen Binomial- und Normalverteilung in der Abbildung oben rechts).

Wenn n hinreichend groß ist, kann die Normalverteilung als Annäherung zur Binomialverteilung verwendet werden, da die Schiefe mit zunehmenden n kleiner wird (für weitere Vergleiche mit der Normalverteilung und Faustregeln, wann die Normalverteilung anstatt der Binomialverteilung verwendet werden kann, siehe den Artikel Normalverteilung).

Beispiel mit Erklärung

Laut dem Bundesbildungsbericht 2012 erwerben 33,9% aller deutschen Schüler eines Jahrgangs die Hochschulreife. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer Gruppe von 5 zufällig ausgewählten Schülern genau 2 die Hochschulreife erworben haben?

Zuerst müssen wir bestimmen, wie viele verschiedenen Möglichkeiten es gibt, zwei Personen aus einer Gruppe von fünf auswählen können. Eine Möglichkeit ist, dass die ersten beiden ausgewählten Schüler ihr Abitur gemacht haben (A) und die letzten drei nicht (N). Dann kämen wir auf folgende Wahrscheinlichkeit:

(0,339)(0,339)(0,661)(0,661)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³ ≈ 0.03319 = 3,319%

Es gibt aber noch neun weitere – also insgesamt 10 – verschiedene Möglichkeiten, wie wir zwei Personen innerhalb einer Gruppe aus fünf anordnen können. All diese Anordnungen müssen wir berücksichtigen:

AANNN = (0,339)(0,339)(0,661)(0,661)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³

ANANN = (0,339)(0,661)(0,339)(0,661)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³
ANNAN = (0,339)(0,661)(0,661)(0,339)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³
ANNNA = (0,339)(0,661)(0,661)(0,661)(0,339) = (0,339)² · (0,661)³

NAANN = (0,661)(0,339)(0,339)(0,661)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³
NANAN = (0,661)(0,339)(0,661)(0,339)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³
NANNA = (0,661)(0,339)(0,661)(0,661)(0,339) = (0,339)² · (0,661)³

NNAAN = (0,661)(0,661)(0,339)(0,339)(0,661) = (0,339)² · (0,661)³
NNANA = (0,661)(0,661)(0,339)(0,661)(0,339) = (0,339)² · (0,661)³
NNNAA = (0,661)(0,661)(0,661)(0,339)(0,339) = (0,339)² · (0,661)³

Was auffällt, ist dass alle die Selbe Wahrscheinlichkeit haben. Daher könne wir (0,339)² · (0,661)³ einfach mit 10 multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit zufällig 2 Abiturienten aus einer Gruppe von 5 Schülern auszuwählen ist demnach:

10 · (0,339)² · (0,661)³ ≈ 0.3319 = 33,19%

Diese Aufgabe erfüllt alle Voraussetzungen, um mit der Binomialverteilung gelöst zu werden. Damit eine Aufgabe mit der Binomialverteilung lösbar ist, müssen einige Bedingungen zutreffen:

Es muss eine feste Anzahl an Versuchen (n) geben
Die Wahrscheinlichkeit p muss konstant bleiben
Die Versuche müssen unabhängig sein

Jeder Versuch darf nur zwei verschiedene Ergebnisse haben: „Erfolg“ oder „Misserfolg“

In unserem Beispiel ist es ein Erfolg, wenn der Schüler sein Abitur gemacht hat.

Definition

Wenn ein binomverteiltes Experiment aus n Versuchen besteht, wobei jeder Versuch eine Wahrscheinlichkeit von p hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge:

$ \large{ P(X=k) \;=\; \dbinom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} } $

Der Binominalkoeffizient $ \binom{n}{k} $ berechnet für uns die Anzahl der Möglichkeiten, wie k Objekte in einer Gruppe aus n ohne Wiederholung angeordnet werden können.

Interaktive Binomialverteilung

n

Wahrscheinlichkeit p

0,5

Rechner für die Binomialverteilung

Mit dem Rechner können genaue Werte für die Binomialverteilung berechnet werden. Berechnet wird

P(X = k) [„genau“],

P(X ≤ k) [„höchstens“] und
P(X ≥ k) [„mindestens“].

Anzahl der Versuche

$ {\color{gray}{ n\in \mathbb{N} }} $

Anzahl der Erfolge

$ {\color{gray}{ k\in \mathbb{N},\;\; n\geq k }} $

Erfolgswahrscheinlichkeit

$ {\color{gray}{ 0 < p < 1 }} $

Alle Berechnungen werden mit R durchgeführt

$$ \large P(X=k) \,=\, f(k;\, n,\, p) \,=\, {n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$

Berechnungsergebnis

f(k; n, p) =

$$ \large F(k;\, n,\, p) \,=\, P(X \le k) \,=\, \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =

$$ \large P(X \ge k) \,=\, \sum_{i=\lfloor k \rfloor}^{n} {n\choose i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $$

Berechnungsergebnis

F(k; n, p) =