Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit verknüpft zwei Ereignisse miteinander. Damit gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis eintreten wird, vorausgesetzt das Ereignis B ist bereits eingetreten. Dies wird als P(A | B) geschrieben als „die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, vorausgesetzt B“ gelesen.

Definition

\( \large{ \displaystyle P(A\mid B) \;\;=\;\; P_B(A) \;\;=\;\; \frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B) > 0 } \)

Der senkrechte Strich wird als „unter der Bedingung“ gelesen. Das Ereignis zu der rechten Seite des senkrechten Stiches (in diesem Fall B) ist das, von dem wir wissen, dass es eingetreten ist.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich durch den Multiplikationssatz herleiten.

Sind A und B zwei unabhängige Ereignisse, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, vorausgesetzt, dass B eintreten wird, gleich P(A).

Beispiel #1

Eine Lehrerin schrieb mit ihrer Klasse zwei Klausuren. 55% bestanden beide Klausuren; 72% nur die erste. Wie viel Prozent derjenigen, die den ersten Test bestanden haben, haben auch den zweiten Test bestanden?

Dies ist eine Aufgabe der bedingten Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeit derjenigen, die die zweite Klausur bestanden haben, gefragt ist, unter der Vorraussetzung, dass die erste bestanden wurde.

\( \displaystyle P(\text{2. Klausur bestanden}\; \mid\; \text{1. Klausur bestanden}) \;\;=\;\; \frac{P(\text{1. und 2. bestanden})}{P(\text{1. bestanden})} \;\;=\;\; \frac{0,55}{0,72} \;\;\approx\;\; 0,7639 \;\;=\;\; 76,39% \)

Beispiel #2

Rund 5-10% der in Afrika an AIDS Erkrankten, wurden durch Bluttransfusionen angesteckt. Insgesamt sind im südlichen Teil Afrikas 7,2% der Bevölkerung erkrankt. Deshalb ist es wichtig, den HI-Virus durch Bluttests zu erkennen und infizierte Blutkonserven zu vernichten. DER ELISA-Test ist die gängigste Verfahrensweise, um HIV im menschlichen Körper nachweisen zu können. Die Sensitivität des ELISA-Test wird mit 99,9 % angegeben. Dies bedeutet, dass von 1000 HIV-positiven Patienten 999 als solche korrekt erkannt werden und nur einer ein falsch-negatives Ergebnis erhält. Die Spezifität beträgt 99,8 %. Von 1000 nicht HIV-Positiven erhalten also 998 ein korrektes, negatives Ergebnis und 2 ein falsch-positives Ergebnis.

Lösung

Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten mit einer Vierfeldertafel lösen.

Zuerst sollte man verstehen, welche Bedeutung die einzelnen Zahlen haben:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ist, wenn man infiziert ist:
P_HIV+(T⁺) = 0,999

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ist, wenn man infiziert ist:
P_HIV+(T⁻) = 0,001
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positive ist, man aber nicht infiziert ist:
P_HIV −(T⁺) = 0,002
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ist, und man auch nicht infiziert ist:
P_HIV −(T⁻) = 0,998

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mensch im südlichen Teil Afrikas mit dem HI-Virus infiziert ist:
P(HIV⁺) = 0,072

Dies sind Teilwahrscheinlichkeiten, die wir benutzen können, um unsere Vierfeldertafel zu erstellen:

Quelle: Wikipedia
	krank HIV⁺	nicht krank HIV^–	Summe
Test ist positiv (T⁺)	P_HIV+(T⁺) · 0,072	P_HIV −(T⁺) · 0,928	P(T+) = Summe der Zeile
Test ist negativ (T⁻)	P_HIV+(T⁻) · 0,072	P_HIV −(T⁻) · 0,928	P(T⁻) = Summe der Zeile
Summe	0,072 = P(HIV⁺) = Summe der Spalte	0,928 = P(HIV⁻) = Summe der Spalte	1

Ergebnis

	krank HIV⁺	nicht krank HIV^–	Summe
Test ist positiv (T⁺)	0,07128	0,001856	0,073136
Test ist negativ (T^–)	0,00072	0,926144	0,926864
Summe	0,072	0,928	1

Herleitung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich durch Äquivalenzumformung aus dem Multiplikationssatz herleiten:

\( \begin{align*} \displaystyle P(A \textup{ und } B) &\;\;=\;\; P(A)\cdot P(B\mid A) \\[3ex] \frac{P(A \textup{ und } B)}{P(A)} &\;\;=\;\; \frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A)} \\[2ex] \frac{P(A \textup{ und } B)}{P(A)} &\;\;=\;\; \frac{\cancel{P(A)}\cdot P(B\mid A)}{\cancel{P(A)}} \\[2ex] \frac{P(A \textup{ und } B)}{P(A)} &\;\;=\;\; P(B\mid A) \\[2ex] P(B\mid A) &\;\;=\;\; \frac{P(A \textup{ und } B)}{P(A)} \end{align*} \)

Wir fangen an mit dem Multiplikationssatz
Beide Seiten der Gleichung durch P(A) teilen

Bruch rechts vereinfachen
Rechte und linke Seite vertauschen
Wir haben die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit hergeleitet