Multiplikationssatz

Mit dem Multiplikationssatz kann man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass zwei Ereignisse eintreten werden. Ähnlich wie der Additionssatz die Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse, die mit dem Wort „oder“ verknüpft sind, berechnet, tut der Multiplikationssatz dies für zwei Ereignisse, die mit dem Wort „und“ verknüpft wurden. Der Multiplikationssatz ist verwandt mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit.

Definition

Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eintreten werden ist:

\( \large{ P(A \,\cap\, B) = P(A)\cdot P(B\mid A) } \)

Wird gelesen als: „Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten ist gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal der Wahrscheinlichkeit von B, vorausgesetzt B“.

Sind die Ereignisse stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit einfach das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten:

\( \large{ P(A \,\cap\, B) = P(A)\cdot P(B) } \)

Beispiel

In einer Urne befinden sich insgesamt 9 Kugeln, 4 blaue und 5 weiße. Wir werden zwei Kugeln aus der Urne entnehmen und nicht wieder zurücklegen. Für diesen Versuch haben wir ein Baumdiagramm erstellt (siehe Abbildung rechts).

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Entnahme eine blaue Kugel ziehen werden?

A = (blau bei der 1. Entnahme) ∩ (blau bei der 2. Entnahme)

Da sich nur 4 blaue Kugeln in der Urne befinden, ist die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel beim ersten Versuch zu ziehen 4/9. Nachdem aber die erste blaue Kugel gezogen wurde, verändert sich die Wahrscheinlichkeit, eine weitere blaue Kugel zu ziehen, da wir die Kugel nicht wieder zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Entnahme ist abhängig von der Ersten. War die Wahrscheinlichkeit beim ersten Versuch noch 4/9 eine blaue Kugel zu ziehen, so ist sie bei der zweiten Entnahme auf 3/8 gesunken, da von den übrig gebliebenen 8 Kugeln nur noch 3 blau sind. Mit diesen Informationen und dem Multiplikationssatz können wir die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A berechnen:

\( \begin{align} P(A) &= \left ( \textup{blau bei der ersten Entnahme}\right ) \;\cap\; \left ( \textup{blau bei der zweiten Entnahme} \right ) \\ &= P\left ( \textup{blau bei der ersten Entnahme}\right ) \,\cdot\, P\left ( \textup{blau bei der zweiten Entnahme} \mid \textup{blau bei der ersten Entnahme} \right ) \\ &= \left ( \frac{4}{9} \right )\cdot \left ( \frac{3}{8} \right ) = \frac{12}{72} = \frac{1}{6} \end{align} \)