Beweis für die Ableitung von sec(x)

Beweis, dass sec(x) · tan(x) die Ableitung des Sekans ist.

Herleitung und Beweis

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big( \sec(x) \big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{\cos(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\big(1\big)^\prime\cdot\cos(x) - 1\cdot\big(\cos(x)\big)^\prime}{\big(\cos(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{\big(0\big)\cdot\cos(x) - 1\cdot\big(-\sin(x)\big)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{ \sin(x)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &=  \ubrace[\sec(x)]{\frac{ 1}{\cos(x)}}\cdot\ubrace[\tan(x)]{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \\[3ex] &= \sec(x)\cdot\tan(x)\qquad\blacksquare

Erklärung

  1. Sekans als Kehrwert des Sinus umschreiben (Definition des Cosekans)
  2. Mit der Kettenregel ableiten
  3. 1 wird als Konstante zu 0 abgeleitet; die Ableitung des Kosinus ist -sin(x)
  4. Zusammenfassen
  5. 1/cos(x) kann aus dem Term herausfaktorisiert werden. Die beiden resultierenden Faktoren entsprechen der alternativen Schreibweise von zwei anderen trigonometrischen Funktionen: dem Sekans und dem Tangens.
  6. Umschreiben.