Beweis für die Ableitung von sec(x)
Beweis, dass sec(x) · tan(x) die Ableitung des Sekans ist.
Herleitung und Beweis
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big( \sec(x) \big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{\cos(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\big(1\big)^\prime\cdot\cos(x) – 1\cdot\big(\cos(x)\big)^\prime}{\big(\cos(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{\big(0\big)\cdot\cos(x) – 1\cdot\big(-\sin(x)\big)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \frac{ \sin(x)}{\cos^2(x)} \\[3ex] &= \ubrace[\sec(x)]{\frac{ 1}{\cos(x)}}\cdot\ubrace[\tan(x)]{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \\[3ex] &= \sec(x)\cdot\tan(x)\qquad\blacksquare
\end{align*} \)
Erklärung
- Sekans als Kehrwert des Sinus umschreiben (Definition des Cosekans)
- Mit der Kettenregel ableiten
- 1 wird als Konstante zu 0 abgeleitet; die Ableitung des Kosinus ist -sin(x)
- Zusammenfassen
- @@ 1/cos(x) @@ kann aus dem Term herausfaktorisiert werden. Die beiden resultierenden Faktoren entsprechen der alternativen Schreibweise von zwei anderen trigonometrischen Funktionen: dem Sekans und dem Tangens.
- Umschreiben.
