Beweis für die Ableitung von csc(x)
Beweis, dass -csc(x) · cot(x) die Ableitung des Cosekans ist.
Herleitung und Beweis
\( \begin{align*}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big( \csc(x) \big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{\sin(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\big(1\big)^\prime\cdot\sin(x) – 1\cdot\big(\sin(x)\big)^\prime}{\big(\sin(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{\big(0\big)\cdot\sin(x) – 1\cdot\big(\cos(x)\big)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{ – \cos(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \ubrace[\csc(x)]{\frac{ 1}{\sin(x)}}\cdot\ubrace[-\cot(x)]{\frac{ – \cos(x)}{\sin(x)}} \\[3ex] &= -\csc(x)\cdot\cot(x)\qquad\blacksquare
\end{align*} \)
Erklärung
- Cosekans als Kehrwert des Sinus umschreiben (Definition des Cosekans)
- Mit der Kettenregel ableiten
- 1 wird als Konstante zu 0 abgeleitet; die Ableitung des Sinus ist der Kosinus
- Zusammenfassen
- @@ 1/sin(x) @@ kann aus dem Term herausfaktorisiert werden. Die beiden resultierenden Faktoren entsprechen der alternativen Schreibweise von zwei anderen trigonometrischen Funktionen: dem Cosekans und dem Cotangens.
- Umschreiben.
