Beweis für die Ableitung von csc(x)

Beweis, dass -csc(x) · cot(x) die Ableitung des Cosekans ist.

Herleitung und Beweis

\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big( \csc(x) \big) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \frac{1}{\sin(x)} \right ) \\[3ex] &= \frac{\big(1\big)^\prime\cdot\sin(x) - 1\cdot\big(\sin(x)\big)^\prime}{\big(\sin(x)\big)^2} \\[3ex] &= \frac{\big(0\big)\cdot\sin(x) - 1\cdot\big(\cos(x)\big)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &= \frac{ - \cos(x)}{\sin^2(x)} \\[3ex] &=  \ubrace[\csc(x)]{\frac{ 1}{\sin(x)}}\cdot\ubrace[-\cot(x)]{\frac{ - \cos(x)}{\sin(x)}} \\[3ex] &= -\csc(x)\cdot\cot(x)\qquad\blacksquare

Erklärung

  1. Cosekans als Kehrwert des Sinus umschreiben (Definition des Cosekans)
  2. Mit der Kettenregel ableiten
  3. 1 wird als Konstante zu 0 abgeleitet; die Ableitung des Sinus ist der Kosinus
  4. Zusammenfassen
  5. 1/sin(x) kann aus dem Term herausfaktorisiert werden. Die beiden resultierenden Faktoren entsprechen der alternativen Schreibweise von zwei anderen trigonometrischen Funktionen: dem Cosekans und dem Cotangens.
  6. Umschreiben.