Regel von de l’Hospital

Nehmen wir einmal an, dass wir den Grenzwert der Funktion @@ \lim_{x->oo} log(x)/sqrt(x) @@ bestimmen wollen. Normalerweise würde man schauen, wie sich Zähler und Nenner verhalten, wenn sie sich dem Punkt nähern. Was aber, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner wachsen? Setzt sich in unserem Beispiel der Zähler durch, wäre der Grenzwert ∞. Setzt sich hingegen der Nenner durch, wäre 0 das Ergebnis. Konvergieren dagegen beide zu einem Punkt hin, wäre der Grenzwert eine endliche Zahl.

Bei Grenzwerten der Form

\( \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} \)

kann die Regel von de l’Hospital verwendet werden.

Definition

Sind f(x) und g(x) zwei differenzierbare Funktionen im offenen Intervall (a, b), sodass entweder

\( \lim_{x\to a}\;f(x) \;=\; \pm\infty \)	und	\( \lim_{x\to a}\;g(x) \;=\; \pm\infty \)
————————————— oder —————————————
\( \lim_{x\to a}\;f(x) \;=\; 0 \)	und	\( \lim_{x\to a}\;g(x) \;=\; 0 \)

dann gilt:

\( \Large{ \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x\to a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} } \)

Hat man also zwei Funktion, die eine im Zähler, die andere im Nenner eines Bruchs, und beide Funktionen konvergieren entweder nach 0 oder ±∞, dann kann man beide Funktionen auch ableiten und den Grenzwert der Ableitungen bestimmen. Dieser ist identisch mit dem Grenzwert der Ausgangsfunktion, aber häufig einfach zu bestimmen.

Oder anders gesagt: die Regel von l’Hospital hilft uns, zu bestimmen, welche der beiden Funktionen schneller konvergiert.

Anwendungsmöglichkeiten

Die Regel von l’Hospital wird meistens für Brüche angewendet, wie wir sie oben gesehen haben. Es gibt aber zusätzlich zu @@ 0/0 @@ und @@ oo/oo @@ noch fünf weitere Arten von unbestimmten Ausdrücken, die so umgeschrieben werden können, das die Regel von de l’Hospital angewendet werden kann:

#	Term	Beispiel	umschreiben
1.	@@ oo-oo @@	@@ lim_(x->0)1/log(x+1)-1/x @@	@@ lim_(x->0)-(log(x+1)-x)/(x*log(x+1)) @@
2.	@@ 0*oo @@	@@ lim_(x->0^-)sin(x)*tan(x+pi/2) @@	@@ lim_(x->0^-)tan(x+pi/2)/(1/sin(x)) @@
3.	@@ 0^0 @@	@@ lim_(x->0^+)sin(x)^x @@	@@ lim_(x->0^+)x*log(sin(x)) = lim_(x->0^+)log(sin(x))/(1/x) @@
4.	@@ oo^0 @@	@@ lim_(x->oo)(e^x+x)^(1/x) @@	@@ lim_(x->oo)1/x*log[(e^x+x)] = lim_(x->oo)log(e^x+x)/x @@
5.	@@ 1^oo @@	@@ lim_(x->5^+)x^(1/(x-5)) @@	@@ lim_(x->5^+)log(x)/(x-5) @@

Erklärung

Die Regel von l’Hospital kann nur dann angewendet werden, wenn die Funktion, deren Grenzwert betrachtet wird, entweder gegen @@ 0/0 @@ oder @@ oo/oo @@ strebt. Da dies bei den anderen fünf unbestimmten Ausdrücken nicht der Fall ist, müssen sie umgeschrieben werden. Zwei Tricks kann man dazu verwenden:

Um ein Produkt als Bruch zu schreiben, kann man durch den Kehrwert eines Faktors teilen (siehe 2 und 3)
Bei unbestimmten Ausdrücken mit Potenzen (0⁰, ∞⁰, 1^∞) wird der Exponent als Faktor geschrieben, nachdem die Basis mit einem Logarithmus geschrieben wurde (siehe 3, 4 und 5)

Außerdem kann die Regel von l’Hospital mehrfach angewendet werden, wenn innerhalb einer Rechnung der Grenzwert wieder gegen @@ 0/0 @@ oder @@ oo/oo @@ konvergieren sollte, wie dies in Beispiel 2 der Fall ist.

Beispiel 1

Bestimme den Grenzwert:

\( \lim_{x\to \infty}\dfrac{e^x}{x} \)

Hier konvergieren beide Funktionen nach +∞. Wenden wir nun die Regel von l’Hospital an:

\( \lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}\;=\;\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(e^x\right)^{\prime}}{(x)^{\prime}}\;=\;\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{1}\;=\;\infty \)

Beispiel 2

{aufgaben}

Bestimme den Grenzwert: @@ lim_(x->0^+)sin(x)^x @@

Wenn man die Möglichkeit hat, sollte man sich zuerst den Graphen der Funktion anschauen (siehe rechts). Anhand des Graphen können wir eine erste Schätzung wagen: der Grenzwert liegt wahrscheinlich bei etwa 1.

\( \begin{align} \lim_{x\to 0^+ }\sin(x)^x &= \lim_{x\to 0^+ }x\cdot \log\big(\sin(x)\big) \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }\dfrac{\log\big(\sin(x)\big)}{\displaystyle\dfrac{1}{x}} \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }\dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [\log\big(\sin(x)\big) \right ]}{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (\dfrac{1}{x} \right )} \quad { \color{explaination} \small\mathrm{\leftarrow Regel\;von\;l’Hospital}} \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }\dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{cos}\left( x\right) }{\mathrm{sin}\left( x\right) }}{\displaystyle -x^{-2}} \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }-\dfrac{{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( x\right) }{\mathrm{sin}\left( x\right) } \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }-\dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( x\right) \right ] }{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\mathrm{sin}\left( x\right) \big) } \quad { \color{explaination} \mathrm{\leftarrow Regel\;von\;l’Hospital}} \\[2ex] &= \lim_{x\to 0^+ }-\dfrac{2\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) \,\mathrm{sin}\left( x\right) -{x}^{2}}{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}} = -\dfrac{0}{1} = 0 \end{align} \)

Leider haben wir damit den Grenzwert immer noch nicht gefunden, auch wenn es vielleicht so scheint. Da wir am Anfang einen Logarithmus eingesetzt haben, um den Exponenten als Faktor schreiben zu können, müssen wir dies wieder rückgängig machen:

\( \lim_{x\to 0^+ }\sin(x)^x \;\;=\;\;\lim_{x\to 0^+ }e^{x\cdot \log\left(\sin(x)\right)} \;\;=\;\; e^0 \;\;=\;\; 1 \)

Dieses Ergebnis entspricht auch der Vorhersage, die wir vorher mit dem Graphen der Funktion gemacht hatten.

Umschreibregeln für unbestimmte Ausdrücke

In der folgenden Tabelle sind die unbestimmten Ausdrücke aufgelistet, sowie die Regeln, die angewendet werden können, um den unbestimmten Ausdruck in die ⁰/₀ bzw. ^∞/_∞ zu bringen, sodass die Regel von l’Hospital angewendet werden kann.

unbestimmter Ausdruck	Bedingungen	Transformationsregel (⁰/₀)	Transformationsregel (^∞/_∞)
\( \boldsymbol{\dfrac{0}{0}} \;=\; \dfrac{f(x)}{g(x)} \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= 0,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= 0 \end{align} \)	——	\( \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x \to c} \dfrac{\dfrac{1}{g(x)}}{\dfrac{1}{f(x)}} \)
\( \boldsymbol{\dfrac{\infty}{\infty}} \;=\; \dfrac{f(x)}{g(x)} \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= \infty, \\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= \infty \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x \to c} \dfrac{\dfrac{1}{g(x)}}{\dfrac{1}{f(x)}} \)	——
\( \boldsymbol{\infty-\infty} \;=\; f(x) – g(x) \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= \infty,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= \infty \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} \big(f(x) – g(x)\big) \;=\; \lim_{x \to c} \dfrac{\dfrac{1}{g(x)} – \dfrac{1}{f(x)}}{\dfrac{1}{f(x)\cdot g(x)}} \)	\( \lim_{x \to c} \big(f(x) – g(x)\big) \;=\; \ln\left(\lim_{x \to c} \dfrac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}\right) \)
\( \boldsymbol{0\cdot \infty} \;=\; f(x)\cdot g(x) \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= 0,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= \infty \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)g(x) \;=\; \lim_{x \to c} \dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{g(x)}} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)g(x) \;=\; \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{f(x)}} \)
\( \boldsymbol{0^0} \;=\; f(x)^g(x) \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= 0^+,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= 0 \! \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp \left\{\lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{\ln\big(f(x)\big)}}\right\} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp\left\{\lim_{x \to c} \dfrac{\ln\big(f(x)\big)}{\dfrac{1}{g(x)}}\right\} \)
\( \boldsymbol{\infty^0} \;=\; f(x)^g(x) \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= \infty,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= 0 \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp \left\{\lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{\ln\big(f(x)\big)}}\right\} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp\left\{\lim_{x \to c} \dfrac{\ln\big(f(x)\big)}{\dfrac{1}{g(x)}}\right\} \)
\( \boldsymbol{1^\infty} \;=\; f(x)^g(x) \)	\( \begin{align} \lim_{x \to c} f(x) &= 1,\\ \quad \lim_{x \to c} g(x) &= \infty \end{align} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp\left\{\lim_{x \to c} \dfrac{\ln\big(f(x)\big)}{\dfrac{1}{g(x)}}\right\} \)	\( \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} \;=\; \exp\left\{ \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{\ln\big(f(x)\big)}}\right\} \)

Beweis

Dieser Beweis gilt nur für den Fall, dass die Funktion nach @@ 0/0 @@ konvergiert. f, g sowie g und g‘ sind alle im Intervall (a, b) sowohl stetig als auch differenzierbar und g'(c)≠0. Der Beweis wird mit Hilfe des Differentialkoeffizienten (als alternative Schreibweise für die Ableitung) geführt werden.

Mit dem Differentialkoeffizienten können wir nun schreiben:

\( \lim_{x\to c}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \;=\; \dfrac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} \;=\; \dfrac{\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}} \;=\; \lim_{x\to c}\dfrac{\displaystyle\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\displaystyle\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}} \;=\; \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} \)

Da f und g an der Stelle c stetig sind, gilt:

\( f(x) \;=\; \lim_{x\to c}f(x)\;=\;0 \)

und

\( g(x)\;=\;\lim_{x\to c}g(x)\;=\;0 \)

Daraus folgt nun:

\( \lim_{x\to c}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \;=\; \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)} \;=\;\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} \)

Q.E.D.