Übung: Scheitelpunkt einer Parabel
Gegeben ist folgende Gleichung:
\large\qquad y = A_DISPx^2 + -2 * A * Hx + A * H * H + K
Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel.
\large{\left(\right.}H,\quadK\large{\left.\right)}
(-1, 2) Wenn die Gleichung in Scheitelpunktform, y = a(x-h)^2+e, gebracht wird, ist der Scheitelpunkt bei (h, e):
\qquad formatGroup( GROUP1, [ 0 ] )
Wir können die Gleichung mithilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen. Zuerst müssen wir den konstanten Term auf die linke Seite der Gleichung bringen:
\qquad formatGroup( COMP_SQR1, [ 0, 1 ] )
Als nächstes faktorisieren wir A aus der rechten Seite der Gleichung:
\qquad formatGroup( COMP_SQR2, [ 0 ] )
Wir ergänzen quadratisch indem wir die Hälfte des Koeffizienten von x nehmen, diesen quadrieren und diesen Wert zu beiden Seiten der Gleichung addieren. Der Koeffizient von x ist -2 * H. Die Hälfte davon íst -H und das Quadrat dessen ist \blue{H * H}. Da wir H * H innerhalb der Klammern auf der rechten Seite addieren, wo es mit A multipliziert wird, müssen wir \blue{A * H * H} zu der linken Seite addieren, damit die Gleichung äquivalent bleibt.
\qquad formatGroup( COMP_SQR3, [ 0, 1, 2 ] )
Jetzt können wir den Ausdruck in der Klammern als Quadrat umschreiben:
\qquad formatGroup( COMP_SQR4, [ 0 ] )
Jetzt bringen wir den konstanten Term auf die rechte Seite der Gleichung. Die Gleichung ist nun in Scheitelpunktform:
\qquad formatGroup( COMP_SQR5, [ 0 ] )
Nun, da die Funktion in Scheitelpunktform ist, liegt der Scheitelpunkt bei \green{(h, k)}:
\qquad formatGroup( GROUP1, [ 0 ] )
Der Scheitelpunkt ist bei (H, K). (Beachte die Vorzeichen, wenn die Gleichung in Scheitelpunktform ist.)
