Übung: Polynome faktorisieren #2

randRangeNonZero( -10, 10 ) randRangeNonZero( -10, 10 )

"" + (randRangeNonZero(-1, 1) * randRangeNonZero(2, 5)) randRange(0, 1) 1 SQUARE*A*B A*B SQUARE*(-A-B) -A-B simplify(parse(COMMON_CST + "*x^{" + COMMON_POWER + "}"), simplifyOptions.basic) format(COMMON_FACTOR) simplify(parse(SQUARE + "x^{2}+" + LINEAR + "x+" + CONSTANT), simplifyOptions.basic) {op:"*", args:[COMMON_FACTOR, POLY_NO_FACTOR]} [ parse("(x + a)(x + b)&=&xx &+& xb + ax &+& ab"), parse("&=& x^2 &+& #{(a+b)}x &+& #{ab}", [GREEN, BLUE]), simplify(parse("&=& x^2 &+& #{" + SIMPLELINEAR + "}x &+& #{" + SIMPLECONSTANT + "}", [GREEN, BLUE]), simplifyOptions.checkInput), ] simplify(POLY_AND_FACTOR, simplifyOptions.expand) simplify(QUESTION, simplifyOptions.factor) simplify(parse("" + COMMON_FACTOR_LATEX + "(x + " + (-A) + ")(x + " + (-B) + ")"), simplifyOptions.checkInput) simplify(parse("" + COMMON_FACTOR_LATEX + "(-x + " + A + ")(-x + " + B + ")"), simplifyOptions.checkInput) simplify(parse("-" + COMMON_FACTOR_LATEX + "(-x + " + A + ")(x + " + (-B) + ")"), simplifyOptions.checkInput) simplify(parse("-" + COMMON_FACTOR_LATEX + "(x + " + (-A) + ")(-x + " + B + ")"), simplifyOptions.checkInput)

Faktorisiere das folgende Polynom:

\large format(QUESTION)

$( "div.instruction input" ).val()

var exprGuess = simplify(parse(guess), simplifyOptions.checkInput); return (isEqual(exprGuess, SOL1) || isEqual(exprGuess, SOL2) || isEqual(exprGuess, SOL3) || isEqual(exprGuess, SOL4));

$( "div.instruction input" ).val( guess );

ein faktorisiertes Polynom, wie (x+1)(x+3)

Als erstes stellen wir fest, dass alle Terme einen gemeinsamen Teiler besitzen. Wir können die Ausdruck wie folgt umschreiben:

format(POLY_AND_FACTOR)

Als nächstes versuchen wir den Term in den Klammern weiter zu faktorisieren: format(POLY_NO_FACTOR)

Faktorisieren ist im Prinzip das Gegenteil von ausmultiplizieren:

\qquad formatGroup(GROUP1, [0, 1])

\qquad formatGroup(GROUP1, [2])

Der Koeffizient von x ist \green{SIMPLELINEAR} und die Konstante ist \blue{SIMPLECONSTANT}. Um den Prozess des Ausmultiplizierens umzukehren, müssen wir die zwei Zahlen finden, die addiert\;\green{SIMPLELINEAR} ergeben und multipliziert \blue{SIMPLECONSTANT} ergeben.

Wir können verschiedene Teiler von \blue{SIMPLECONSTANT} ausprobieren, um zu sehen welche beide Bedingungen erfüllen. Man kann beispielsweise die Teiler von \blue{SIMPLECONSTANT} deren Summe \green{SIMPLELINEAR} ist. Als Hilfe kann man auch beide Bedingungen als Gleichungssystem schreiben und dann nach \pink{a} und \pink b lösen:

\qquad parseFormat("#a+#b=#{"+ SIMPLELINEAR + "}", [PINK, PINK, GREEN])

\qquad parseFormat("#a \\times #b = #{" + SIMPLECONSTANT + "}", [PINK, PINK, BLUE])

Falls du nicht mehr weiterkommst, versuche jeden Teiler von \blue{SIMPLECONSTANT} und dessen Gegenzahl als \pink a in die Gleichungen einzusetzen um zu sehen, welcher Wert für \pink b dabei herauskommt, der beide Bedingungen erfüllt. So ist beispielsweise Math.abs(A) ein Teiler von \blue{SIMPLECONSTANT}. Versuche sowohl Math.abs(A) als auch -Math.abs(A) in die Gleichungen einzusetzen.

Die beiden Zahlen \pink{-A} und \pink{-B} erfüllen beide Bedingungen:

\qquad parseFormat("#{" + (-A) + "}+#{" + (-B) + "}=#{" + SIMPLELINEAR + "}", [PINK, PINK, GREEN])

\qquad parseFormat("#{" + (-A) + "}\\times #{" + (-B) + "}=#{" + SIMPLECONSTANT + "}", [PINK, PINK, BLUE])

Damit können wir das Polynom wie folgt faktorisieren: parseFormat("(x + #{" + (-A) + "})(x + #{" + (-B) + "})", [PINK, PINK], simplifyOptions.checkInput)

Das vollständig faktorisiert Polynom wäre damit: format(SOLUTION)