Übung: Polynome faktorisieren #1
Faktorisiere das folgende Polynom:
\large plus(SQUARE + "x^2") + plus( LINEAR + "x" ) + CONSTANT
(x-A)(x-B)
Faktorisieren ist im Prinzip das Gegenteil von ausmultiplizieren:
\qquad \begin{eqnarray}
(x + a)(x + b) \quad&=&\quad xx &+& xb + ax &+& ab \\ \\
&=&\quad x^2 &+& \color{GREEN}{(a + b)}x &+& \color{BLUE}{ab}
\end{eqnarray}
\qquad \begin{eqnarray}
\hphantom{(x + a)(x + b) \quad}&\hphantom{=}&\hphantom{\quad xx }&\hphantom{+}&\hphantom{ (a + b)x }&\hphantom{+}& \\
&=&\quad x^2 &
SIMPLELINEAR >= 0 ? "+" : ""&
plus( "\\color{" + GREEN + "}{" + SIMPLELINEAR + "}x" )&
SIMPLECONSTANT >= 0 ? "+" : ""&
plus( "\\color{" + BLUE + "}{" + SIMPLECONSTANT + "}" )
\end{eqnarray}
Der Koeffizient von x ist \green{SIMPLELINEAR} und die Konstante ist \;\blue{SIMPLECONSTANT}. Um den Prozess des Ausmultiplizierens umzukehren, müssen wir die zwei Zahlen finden, die addiert\;\green{SIMPLELINEAR} ergeben und multipliziert \blue{SIMPLECONSTANT} ergeben.
Wir können verschiedene Teiler von \blue{SIMPLECONSTANT} ausprobieren, um zu sehen welche beide Bedingungen erfüllen. Als Hilfe kann man auch beide Bedingungen als Gleichungssystem schreiben und dann nach \pink{a} und \pink b lösen:
\qquad \color{PINK}{a} + \color{PINK}{b} = \color{GREEN}{SIMPLELINEAR}
\qquad \color{PINK}{a} \times \color{PINK}{b} = \color{BLUE}{SIMPLECONSTANT}
Die beiden Zahlen \pink{-A} und \pink{-B} erfüllen beide Bedingungen:
\qquad \color{PINK}{-A} + \color{PINK}{-B} =
\color{GREEN}{SIMPLELINEAR}
\qquad \color{PINK}{-A} \times \color{PINK}{-B} =
\color{BLUE}{SIMPLECONSTANT}
Damit können wir das Polynom wie folgt faktorisieren:
(x A < 0 ? "+" : "" \color{PINK}{-A})(x B < 0 ? "+" : "" \color{PINK}{-B})
