Übung: Partialbruchzerlegung

randRangeNonZero(-5, 5) randRangeNonZero(-5, 5) randRangeNonZero(-5, 5) randRangeNonZero(-5, 5)
A + B -A * D - B * C expr(["+", ["*", E, "x"], F]) expr(C === -D ? ["+", "x^2", C*D] : ["+", "x^2", ["*", -C - D, "x"], C*D] ) expr(["+", "x", -C]) expr(["+", "x", -D])
Schreibe \large\dfrac{NUMER}{DENOM} mithilfe der Partialbruchzerlegung in TeilbrĂŒche.
A B C D
A C B D
a
x-
a
+
a
x-
a

ZunĂ€chst faktorisiere den Nenner, um die Nenner der beiden BrĂŒche, in die unser Bruch aufgeteilt werden soll, zu finden.

DENOM = (ADENOM)(BDENOM)

Da der ursprĂŒngliche Nenner in zwei Teile faktorisiert werden kann, können wir den ursprĂŒnglichen Bruch als Summe zweier BrĂŒche schreiben, deren Nenner wir gerade bestimmt haben.

\dfrac{NUMER}{ (ADENOM)(BDENOM) } = \dfrac{?}{ADENOM} + \dfrac{?}{BDENOM}

Nun ersetzen wir die ZĂ€hler mit Polynomen ein Grads weniger als der Grad des Polynoms in dem Nenner.

In unserem Fall haben beide ZĂ€hler eines Grad von 1, daher ersetzen wir beide ZĂ€hler mit Polynomen des Grads 0 (daher einer Konstanten). Wir verwenden die Konstanten A und B

\dfrac{NUMER}{ (ADENOM)(BDENOM) } = \dfrac{A}{ADENOM} + \dfrac{B}{BDENOM}

Um die BrĂŒche zu eliminieren, mĂŒssen wir mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren: (ADENOM)(BDENOM).

NUMER = A(BDENOM) + B(ADENOM)

Als nĂ€chstes lösen wir nach A und B auf. Am einfachsten ist es, wenn wir Werte fĂŒr x wĂ€hlen, fĂŒr die eine der beiden Summanden mit A oder B null wird, und dann fĂŒr den anderen aufzulösen (ein Produkt ist immer dann null, einer der Faktoren null ist).

Als ersten versuchen wir B zu eliminieren. Wenn wir C fĂŒr x wĂ€hlen, wird der Term mit B null und es bleibt:

expr(["+", E * C, F]) = A(expr(["+", C, -D]))

E * C + F = expr(["*", C - D, "A"])

A=A

Dasselbe können wir tun, um nach B aufzulösen, aber stattdessen wĂ€hlen wir D fĂŒr x:

expr(["+", E * D, F]) = B(expr(["+", D, -C]))

E * D + F = expr(["*", D - C, "B"])

B=B

Als Letztes setzen wir die Werte wieder in unsere BrĂŒche ein und erhalten:

\dfrac{NUMER}{DENOM} = \dfrac{A}{ADENOM} + \dfrac{B}{BDENOM}