Übung: Komplexe Zahlen dividieren
Dividiere die folgenden komplexen Zahlen.
\large\qquad \dfrac{A_REP}{B_REP}
Da wir nur durch einen einzigen Term teilen, können wir jeden Term im Zähler für sich separat teilen.
\qquad \dfrac{A_REP}{B_REP} = \dfrac{A_REAL}{B_REP} A_IMAG > 0 ? "+" : "-" \dfrac{abs(A_IMAG) === 1 ? "" : abs(A_IMAG)i}{B_REP}
Durch Vereinfachen erhalten wir ANSWER_REP.
Faktorisiere 1/i.
\dfrac{A_REAL}{B_REP} A_IMAG > 0 ? "+" : "-" \dfrac{abs(A_IMAG) === 1 ? "" : abs(A_IMAG)i}{B_REP} = \dfrac 1i \left( \dfrac{A_REAL}{B_IMAG} A_IMAG > 0 ? "+" : "-" \dfrac{abs(A_IMAG) === 1 ? "" : abs(A_IMAG)i}{B_IMAG} \right) = \dfrac 1i (complexNumber(-ANSWER_IMAG, ANSWER_REAL))
Nach der Vereinfachung ist 1/i gleich -i. Wir haben somit jetzt:
\dfrac 1i (complexNumber(-ANSWER_IMAG, ANSWER_REAL)) = -i (complexNumber(-ANSWER_IMAG, ANSWER_REAL)) = ANSWER_IMAGi + -ANSWER_REALi^2 = ANSWER_REP
Für die Division werden Zähler und Nenner mit dem komplex konjugierten Teil des Nenners erweitert. Dieser ist \green{CONJUGATE}.
\qquad \dfrac{A_REP}{B_REP} =
\dfrac{A_REP}{B_REP} \cdot
\dfrac{\green{CONJUGATE}}{\green{CONJUGATE}}
Wir können den Nenner mithilfe der binomischen Formeln Vereinfachen: (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2.
\qquad \dfrac{(A_REP) \cdot (CONJUGATE)}
{(B_REP) \cdot (CONJUGATE)} =
\dfrac{(A_REP) \cdot (CONJUGATE)}
{negParens(B_REAL)^2 - (B_IMAGi)^2}
Berechne die Quadrate im Nenner und subtrahiere sie.
\qquad \dfrac{(A_REP) \cdot (CONJUGATE)}
{(B_REAL)^2 - (B_IMAGi)^2} =
\qquad \dfrac{(A_REP) \cdot (CONJUGATE)}
{B_REAL * B_REAL + B_IMAG * B_IMAG} =
\qquad \dfrac{(A_REP) \cdot (CONJUGATE)}
{B_REAL * B_REAL + B_IMAG * B_IMAG}
Beachte: Der Zähler hat nun keinen Imaginärteil mehr und ist daher eine reelle Zahl. Wir haben damit eine Divisionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe überführt.
Nun berechnen wir die zwei Faktoren im Zähler.
\qquad \dfrac{(\blue{A_REP}) \cdot (\red{CONJUGATE})}
{DENOMINATOR} =
\qquad \dfrac{\blue{A_REAL} \cdot \red{negParens(B_REAL)} + \blue{A_IMAG} \cdot \red{negParens(B_REAL) i} + \blue{A_REAL} \cdot \red{B_CONJUGATE_IMAG i} + \blue{A_IMAG} \cdot \red{B_CONJUGATE_IMAG i^2}}
{DENOMINATOR}
Produkte berechnen.
\qquad \dfrac{A_REAL * B_REAL + A_IMAG * B_REALi + A_REAL * B_CONJUGATE_IMAGi + A_IMAG * B_CONJUGATE_IMAG i^2}
{DENOMINATOR}
Als Letztes vereinfachen wir noch den Bruch.
\qquad \dfrac{A_REAL * B_REAL + A_IMAG * B_REALi + A_REAL * B_CONJUGATE_IMAGi - A_IMAG * B_CONJUGATE_IMAG}
{DENOMINATOR} =
\dfrac{REAL_NUMERATOR + IMAG_NUMERATORi}
{DENOMINATOR} =
ANSWER_REP
