Übung: Inverse einer 3×3 Matrix
PRETTY_MAT_ID = printSimpleMatrix(MAT)
Was ist PRETTY_MAT_ID^{-1}, die Inverse von PRETTY_MAT_ID?
Die Antwort als Bruch oder (genaue) Kommazahl
Die Brüche müssen nicht gekürzt sein.
Die Inverse einer Matrix ist gleich die Adjunkte der Matrix geteilt durch Determinante der Matrix.
PRETTY_MAT_ID^{-1} = \frac{1}{\det(PRETTY_MAT_ID)}\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID)
Schritt 1: Bestimme die Adjunkte
Als erstes konstruieren wir eine Matrix aus Minoren (Unterdeterminanten) von PRETTY_MAT_ID.
MAT_MINORS_FORMAT
= printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET)
Als nächstes multiplizieren wir die Matrix aus Minoren mit folgendem Muster:
printSimpleMatrix([["+","-","+"],["-","+","-"],["+","-","+"]])
Das gibt uns eine Matrix aus Kofaktoren:
printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET_SIGNS)
Dann transponieren wir die Matrix um die Adjunkte von PRETTY_MAT_ID zu erhalten:
\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID) =
printSimpleMatrix(MAT_MINORS_DET_SIGNS)^T =
printSimpleMatrix(MAT_ADJ, MatheguruHelper.BLUE)
Schritt 2: Bestimme die Determinante
Wir bestimmen die Determinante der Matrix PRETTY_MAT_ID. [Wie geht das?]
Die Determinante jeder 3×3 Matrix kann mit der Regel von Sarrus berechnet werden:
printSimpleMatrixDet(HINT_MAT)
= matrix3x3DetHint(HINT_MAT, true)
= matrix3x3DetHint(HINT_MAT)
In diesem Fall wäre die Determinante:
printSimpleMatrixDet(MAT)
= matrix3x3DetHint(MAT, true)
= matrix3x3DetHint(MAT)
= DET
\det(PRETTY_MAT_ID) =
printSimpleMatrixDet(MAT)=
expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])
Schritt 3: Alles Zusammenbringen
Nun, da wir die Adjunkte und die Determinante kennen, können wir die Matrix invertieren:
PRETTY_MAT_ID^{-1} =
\frac{1}{expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])}
printSimpleMatrix(MAT_ADJ, MatheguruHelper.BLUE)
= PRETTY_SOLN_MAT
