Übung: Inverse einer 2×2 Matrix

2 makeMatrix(randRange(-2, 5, DIM, DIM)) matrixDet(MAT)

makeMatrix([["a","b"],["c","d"]]) makeMatrix([["d","-b"],["-c","a"]]) matrixInverse(MAT) matrixPad(SOLN_MAT, 3, 3) printMatrix(function(a) { var sign = (a < 0) ? "-" : ""; var frac = toFraction(abs(a)); if (frac[1] === 1) { return sign + frac[0]; } return sign + "\\frac{" + frac[0] + "}{" + frac[1] + "}"; }, SOLN_MAT) "\\textbf " + randFromArray("ABCDEF")

PRETTY_MAT_ID = printSimpleMatrix(MAT)

Was ist PRETTY_MAT_ID^{-1}, die Inverse von PRETTY_MAT_ID?

elem elem

Die Antwort als Bruch oder (genaue) Kommazahl

Die Brüche müssen nicht gekürzt sein.


                        PRETTY_MAT_ID^{-1} = \frac{1}{\det(PRETTY_MAT_ID)}\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID)

Schritt 1: Bestimme die Adjunkte

Für jede 2×2 Matrix printSimpleMatrix(HINT_MAT) ist die Adjunkte printSimpleMatrix(HINT_MAT_ADJ).

\mathrm{adj}(PRETTY_MAT_ID) = printSimpleMatrix(matrixAdj(MAT), MatheguruHelper.BLUE)

Schritt 2: Bestimme die Determinante

Für jede 2×2 Matrix printSimpleMatrix(HINT_MAT) ist die Determinante matrix2x2DetHint(HINT_MAT).

\det(PRETTY_MAT_ID) = matrix2x2DetHint(MAT) = expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])

Schritt 3: Alles Zusammenbringen

Nun, da wir die Adjunkte und die Determinante kennen, können wir die Matrix invertieren:


                        PRETTY_MAT_ID^{-1} = 
                        \frac{1}{expr(["color", MatheguruHelper.RED, DET])}
                        printSimpleMatrix(matrixAdj(MAT), MatheguruHelper.BLUE)

= PRETTY_SOLN_MAT