Übung: Grenzwerte #2

randRange( 4, 7 ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), DEG ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), DEG ) randFromArray([ "", "-" ])

Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.

fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )

  • fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
  • +\infty
  • -\infty
  • 0
  • nicht definiert

Als erstes mĂŒssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) und expr(DEN.expr()[1]).

Da beide Leitkoeffizienten den selben Grad, DEG, haben, ist der Grenzwert gleich dem Quotienten der beiden Koeffizienten.

\displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()} = fractionSimplification( NUM.coefs[DEG], DEN.coefs[DEG] )

randRange( 4, 7 ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), randRange( 4, 7 ) ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), randRange( 4, 7 ) ) randFromArray([ "", "-" ])

Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to PM\infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.

0

  • fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
  • fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
  • +\infty
  • -\infty
  • nicht definiert

Als erstes mĂŒssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) und expr(DEN.expr()[1]).

Weil der Grad des Leitkoeffizienten im ZÀhler NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree geringer ist als der Grad des Leitkoeffizienten im Nenner DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree, dominiert der untere Term wenn x sich PM\infty nÀhert.

Da der Nenner schneller wÀchst als der ZÀhler, ist der Grenzwert 0.

randRange( 4, 7 ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), randRange( 4, 7 ) ) new Polynomial( randRange( 2, 4 ), randRange( 4, 7 ) ) NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef * DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef > 0 ? "+" : "-" RIGHT_SIGN === "+" ? "-" : "+"

Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to \infty}\dfrac{NUM.text()}{DEN.text()}.

RIGHT_SIGN\infty

  • fractionReduce( NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
  • fractionReduce( -NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef, DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef )
  • WRONG_SIGN\infty
  • 0
  • nicht definiert

Als erstes mĂŒssen wir die Leitkoeffizienten betrachten: expr(NUM.expr()[1]) and expr(DEN.expr()[1]).

FĂŒr x \to \infty nĂ€hert sich der ZĂ€hler -\infty weil der Koeffizient NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef negativ ist.

FĂŒr x \to \infty nĂ€hert sich der ZĂ€hler \infty weil der Koeffizient NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef positiv ist.

FĂŒr x \to \infty nĂ€hert sich der Nenner ebenfalls -\infty weil der Koeffizient DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef negativ ist.

FĂŒr x \to \infty nĂ€hert sich der Nenner ebenfalls \infty weil der Koeffizient DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).coef positiv ist.

Weil der Grad des ZĂ€hlers NUM.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree grĂ¶ĂŸer ist der Grad des Nenners DEN.getCoefAndDegreeForTerm(0).degree, divergiert der Grenzwert.

ZÀhler und Nenner haben das selbe Vorzeichen wenn x wÀchst, daher ist der Grenzwert +\infty.

ZÀhler und Nenner haben verschiedene Vorzeichen, wenn x wÀchst, daher ist der Grenzwert -\infty.

randRangeNonZero( -7, 7 ) randRangeNonZero( -7, 7 ) A > 0 ? "-" : "+" SIGN_LIM_LEFT === "+" ? "-" : "+"

Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to K}\dfrac{A}{x + -K}.

nicht definiert

  • fractionReduce( A, K )
  • fractionReduce( A, -K )
  • +\infty
  • -\infty
  • 0

Betrachten wir das Verhalten der Funktion fĂŒr x \to K von beiden Seiten.

Wenn x sich K von links nÀhert, fÀngt x + -K im Negativen an und wÀchst wenn es sich 0 nÀhert, sodass \dfrac{A}{x + -K} sich SIGN_LIM_LEFT\infty nÀhert.

Wenn x sich K von rechts nÀhert, fÀngt x + -K im Positiven an und fÀllt wenn es sich, wÀhrend es sich 0 nÀhert, sodass \dfrac{A}{x + -K} sich SIGN_LIM_RIGHT\infty nÀhert.

Da der linksseitige- und rechtsseitige Grenzwert verschieden ist, ist der Grenzwert nicht definiert.

randRangeNonZero( -7, 7 ) randRangeNonZero( -7, 7 ) A > 0 ? "+" : "-" RIGHT_SIGN === "+" ? "-" : "+"

Bestimme \displaystyle\large\lim_{x \to K}\dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2}.

RIGHT_SIGN\infty

  • fractionReduce( A, K * K )
  • fractionReduce( A, -K * K )
  • WRONG_SIGN\infty
  • 0
  • nicht definiert

Betrachten wir das Verhalten der Funktion fĂŒr x \to K von beiden Seiten.

Von beiden Seiten aus betrachtet nÀhert (x + -K)^2 sich 0, sodass \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} divergiert.

Da (x + -K)^2 immer positiv ist und A positiv ist, nÀhert \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} sich RIGHT_SIGN\infty.

Da (x + -K)^2 immer positiv ist und A negativ ist, nÀhert \dfrac{A}{(x + -K\smash{)}^2} sich RIGHT_SIGN\infty.