Übung: Gleichungen mit Beträgen
\definecolor{gurured}{RGB}{217,83,79}\newcommand{\red}[1]{\color{gurured}{#1}}
Löse die Gleichung nach x auf:
A|x + E| + B =
C|x + E| + D
oder
6
ein bzw. zwei echte vereinfachte Brüche, wie
3/5
ein bzw. zwei unechte vereinfachte Brüche, wie
7/4
ein bzw. zwei exakte Kommazahlen, wie
0{,}75
wenn keine Lösung für x existiert, einfach beide
Eingabefelder leer lassen und "keine Lösung" anklicken
\red{abs(C)|x + E|}
von beiden Seite abziehen:
\red{abs(C)|x + E|}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
A|x + E| + B
&=&
C|x + E| + D
\\ \\
\red{ - C|x + E|}
&&
\red{ - C|x + E|} \\ \\
A - C|x + E| +
B
&=& D
\end{eqnarray}
\red{abs(B)}
von beiden abziehen:
\red{abs(B)}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
A - C|x + E| +
B &=& D \\ \\
\red{ - B} &=&
\red{ - B} \\ \\
A - C|x + E| &=&
D - B
\end{eqnarray}
Beide Seiten durch
\red{A - C} teilen:
\qquad
\dfrac{A - C|x + E|}
{\red{A - C}} =
\dfrac{D - B}
{\red{A - C}}
Vereinfachen:
\qquad |x + E| =
SIMPLIFIED
Da der absolute Wert eines Ausdrucks, dessen Abstand von 0 ist, hat er zwei Lösungen: eine positive und eine negative
\qquad
x + E = -SIMPLIFIED
oder
\qquad
x + E = SIMPLIFIED
Löse die Gleichung so auf, dass
x + E negativ ist:
\qquad
x + E = -SIMPLIFIED
\red{abs(E)}
von beiden Seiten abziehen
\red{abs(E)}
zu beiden Seiten addieren
\qquad\begin{eqnarray}
x + E &=&
-SIMPLIFIED \\ \\
\red{- E} &&
\red{- E} \\ \\
x &=& -SIMPLIFIED -
E
\end{eqnarray}
Schreibe
\red{{} - E}
zu einem equivalenten Bruch mit einem Nenner von
SIMPLIFIED_DENOM um:
\qquad
x = - SIMPLIFIED
\red{E > 0 ? "-" : "+"
fraction(abs(E) * SIMPLIFIED_DENOM,
SIMPLIFIED_DENOM)}
\qquad
x = fractionReduce.apply(null,
NEG_SOLUTION)
Dann berechnen wir die Lösung, sodass
x + E positiv ist:
\qquad
x + E = SIMPLIFIED
\red{abs(E)}
von beiden Seiten abziehen:
\red{abs(E)}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
x + E &=&
SIMPLIFIED \\ \\
\red{- E} &&
\red{- E} \\ \\
x &=& SIMPLIFIED -
E
\end{eqnarray}
Schreibe
\red{{} - E}
zu einem equivalenten Bruch mit einem Nenner von
SIMPLIFIED_DENOM um:
\qquad
x = SIMPLIFIED
\red{E > 0 ? "-" : "+"
fraction(abs(E) * SIMPLIFIED_DENOM,
SIMPLIFIED_DENOM)}
\qquad
x = fractionReduce.apply(null,
POS_SOLUTION)
\red{A|x + E|}
von beiden Seiten abziehen:
\red{A|x + E|}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
A|x + E| + B
&=&
C|x + E| + D
\\ \\ \red{- A|x + E|}
&&
\red{- A|x + E|} \\ \\
B &=&
C - A|x + E| +
D
\end{eqnarray}
abs(D)
von beiden Seiten abziehen:
abs(D)
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
B &=&
C - A|x + E| +
D \\ \\
\red{- D} &&
\red{- D} \\ \\
B - D &=&
C - A|x + E|
\end{eqnarray}
Beide Seiten durch
\red{C - A} teilen.
\qquad
\dfrac{B - D}
{\red{C - A}} =
\dfrac{C - A|x + E|}
{\red{C - A}}
Vereinfachen:
\qquad
SIMPLIFIED = |x + E|
Da der absolute Wert eines Ausdrucks, dessen Abstand von 0 ist, hat er zwei Lösungen: eine positive und eine negative:
\qquad
-SIMPLIFIED = x + E
oder
\qquad
SIMPLIFIED = x + E
Dann berechnen wir die Lösung, sodass
x + E negativ ist:
\qquad - SIMPLIFIED = x +
E
\red{abs(E)}
von beiden Seiten abziehen:
\red{abs(E)}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
- SIMPLIFIED &=&
x + E \\ \\
\red{- E} &&
\red{- E} \\ \\
-SIMPLIFIED - E
&=& x
\end{eqnarray}
Schreibe
\red{{} - E}
zu einem equivalenten Bruch mit einem Nenner von
SIMPLIFIED_DENOM um.
\qquad
- SIMPLIFIED
\red{E > 0 ? "-" : "+"
fraction(abs(E) * SIMPLIFIED_DENOM,
SIMPLIFIED_DENOM)} = x
\qquad
fractionReduce.apply(null,
NEG_SOLUTION) = x
Dann berechnen wir die Lösung, sodass
x + E positiv ist:
\qquad
SIMPLIFIED = x + E
\red{abs(E)}
von beiden Seiten abziehen:
\red{abs(E)}
zu beiden Seiten addieren:
\qquad\begin{eqnarray}
SIMPLIFIED &=&
x + E \\ \\
\red{- E} &&
\red{- E} \\ \\
SIMPLIFIED - E
&=& x
\end{eqnarray}
Schreibe
\red{{} - E}
zu einem equivalenten Bruch mit einem Nenner von
SIMPLIFIED_DENOM um.
\qquad
SIMPLIFIED
\red{E > 0 ? "-" : "+"
fraction(abs(E) * SIMPLIFIED_DENOM,
SIMPLIFIED_DENOM)} = x
\qquad
fractionReduce.apply(null,
POS_SOLUTION) = x
Daher ist die richtige Antwort
x =
fractionReduce.apply(null, NEG_SOLUTION)
oder
x =
fractionReduce.apply(null, POS_SOLUTION)
.
Der Betrag kann nicht negativ sein. Daher existiert keine Lösung.
