├ťbung: Erwartungswert

randFromArray([ ["eine 1", 1], ["eine 2", 1], ["eine 3", 1], ["eine 4", 1], ["eine 5", 1], ["eine 6", 1], ["eine 7", 1], ["eine 8", 1], ["eine 9", 1], ["eine 10", 1], ["mindestens eine 2", 9], ["mindestens eine 5", 6], ["mindestens eine 7", 4], ["mehr als eine 2", 8], ["mehr als eine 6", 4], ["mehr als eine 8", 2], ["weniger als eine 4", 3], ["weniger als eine 7", 6], ["weniger als eine 8", 7], ["eine gerade Zahl", 5], ["eine gerade Zahl", 5], ["eine ungerade Zahl", 5], ["eine ungerade Zahl", 5] ]) 10 - MAKE_COUNT fraction(MAKE_COUNT,10,true,false) fraction(LOSE_COUNT,10,true,false) randRange(5,10) randRange(5,10) MAKE_COUNT*MAKE - LOSE_COUNT*LOSE [fraction(PROFIT,10,true,false), PROFIT/10]

Ein Gl├╝cksspiel auf dem Rummel hat folgende Spielregeln: die Spieler wirft einen zehnseitigen W├╝rfel. Wirft man RESULT_DESC erh├Ąlt man MAKE Euro Gewinn. Bei allen anderen Zahlen verliert man allerdings LOSE Euro.

Wie viel Geld erwarten wir pro Spiel zu gewinnen oder verlieren?

\mathrm{Euro}\; ANS

Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses Gl├╝cksspiel) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Da es sein kann, dass einige Ergebnisse eine h├Âhere Wahrscheinlichkeit haben als andere, gewichten wir jedes Ergebnis einzeln um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel erwarten.

In unseren Fall k├Ânnen zwei Ereignisses eintreten: entweder wir w├╝rfeln RESULT_DESC und gewinnen das Spiel, oder wir w├╝rfeln etwas anderes und verlieren. Daher w├╝rde unser Erwartungswert wie folgt berechnen:

E = (Geld gewonnen da RESULT_DESC geworfen) \cdot (Wahrscheinlichkeit RESULT_DESC zu w├╝rfeln) + (Geld verloren da RESULT_DESC geworfen) \cdot (Wahrscheinlichkeit kein RESULT_DESC zu w├╝rfeln).

Wir gewinnen \mathrm{Euro}\; MAKE, wenn wir das Spiel gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist die Wahrscheinlichkeit RESULT_DESC zu w├╝rfeln.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl der g├╝nstigen Ereignisse geteilt durch die Anzahl aller m├Âglichen Ereignisse, daher MAKE_FR.

Wir verlieren LOSE Euro wenn wir eine andere Zahl w├╝rfeln. Man k├Ânnte auch sagen, wir gewinnen \mathrm{Euro}\; -LOSE Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass wir verlieren, ist die Wahrscheinlichkeit nicht RESULT_DESC zu w├╝rfeln, daher die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen.

Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren ist also: 1 - MAKE_FR = LOSE_FR.

Wenn wir also die durchschnittliche Summe an Geld nehmen, die wir f├╝r jedes Ereignis gewinnen bzw. verlieren w├╝rden, gewichtet mit wie wahrscheinlich das Eintreten dieses Ereignisses ist, erhalten wir den Erwartungswert f├╝r das Spiel: (MAKE\cdotMAKE_FR) + (-LOSE\cdotLOSE_FR) = ANS_F = -\mathrm{Euro}\; localeToFixed(-ANS, 2) \mathrm{Euro}\; localeToFixed(ANS, 2).

randFromArray([4,6,10,12]) (function(){ if(SIDES < 7) { return _.map(_.range(SIDES), function(i){ return "\\dfrac{"+(i+1)+"}{"+SIDES+"}"; }) .join("+"); } first = _.map(_.range(3), function(i){ return "\\dfrac{"+(i+1)+"}{"+SIDES+"}"; }) .join("+"); last = _.map(_.range(3), function(i){ return "\\dfrac{"+(SIDES-2+i)+"}{"+SIDES+"}"; }).join("+"); return [first,"\\cdots",last].join("+"); })() _.reduce(_.range(SIDES), function(n,i){ return n+i+1; }, 0)

Wie w├╝rfeln mit einem SIDES-seitigen W├╝rfel. Was ist der Erwartungswert eines Wurfs?

ANS_N/SIDES

Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses W├╝rfelwurfs) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Wir gewichten jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit einzeln um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel erwarten werden.

In unserem Fall gibt es SIDES m├Âgliche Ereignisse: das erste Ereignis ist der Wurf eines 1, das zweite der Wurf einer 2, und so weiter. Der Wert jedes Ereignisses ist die Augenzahl des W├╝rfels.

Der Wert des ersten Ereignisses ist 1 und dessen Eintrittswahrscheinlichkeit ist \dfrac{1}{SIDES}.

Der Wert des zweiten Ereignisses ist 2, der Wert des dritten 3, und so weiter. Insgesamt gibt es SIDES m├Âgliche Ereignisse, jedes mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit von \dfrac{1}{SIDES}.

Wenn wir den Mittelwert aller m├Âglichen Augenzahlen berechnen, erhalten wir den Erwartungswert, und der ist SUM = mixedFractionFromImproper(ANS_N,SIDES,true,true).

random() < 0.4 randRange(2,5) randRange(1,5)*100 BUY ? COST*ODDS + randRange(1,3)*100 : COST*ODDS - randRange(1,3)*100 fraction(1,ODDS,true,true) BUY ? "Ja, der Erwartungswert ist positiv." : "Nein, der Erwartungswert ist negativ."

Wir entscheiden uns, dass wir nur ein Lotterielos kaufen werden, wenn der erwartete Gewinn gr├Â├čer ist als der Einsatz. Ein Los kostet \mathrm{Euro}\; COST und wir erhalten \mathrm{Euro}\; PRIZE bei einem Gewinn. Eins aus ODDS Losen gewinnt. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist ODD_F.

Sollten wir ein Los kaufen?

ANS
  • Ja, der Erwartungswert ist positiv.
  • Nein, der Erwartungswert ist negativ.

Der Erwartungswert eines Ereignisses (wie beispielsweise dieses Gl├╝cksspiel) ist der gewichtete Wert aller Ergebnisses. Bei dieser Lotterie ist es wesentlich wahrscheinlicher, dass wir verlieren als das wir gewinnen. Daher m├╝ssen wir jedes Ergebnis einzeln gewichten um zu sehen, welchen Wert wir im Mittel gewinne oder verlieren werden.

Dies bedeutet, dass der Erwartungswert, unter Ber├╝cksichtigung des Kaufpreises und der Gewinnwahrscheinlichkeit l├Ąsst sich wie folgt berechnen: E = (Geld gewonnen, wenn wir gewinnen) \cdot (Wahrscheinlichkeit zu gewinnen) + (Geld verloren, wenn wir nicht gewinnen) \cdot (Wahrscheinlichkeit nicht zu gewinnen).

Wir berechnen jeden dieser Terme einzeln, angefangen mit einem Gewinn: das Geld, dass wir gewinnen ist \mathrm{Euro}\; PRIZE und wir wissen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit ODD_F betr├Ągt.

Wenn wir verlieren, gewinnen wir kein Geld, oder man k├Ânnte auch sagen, wir gewinnen \mathrm{Euro}\; 0. Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen, daher 1 - ODD_F.

Zusammengefasst ist unser Erwartungswert E = (\mathrm{Euro}\; PRIZE) (ODD_F) + (\mathrm{Euro}\; 0) (1 - ODD_F) = \mathrm{Euro}\; \dfrac{PRIZE}{ODDS} = \mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true).

\mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true) - \mathrm{Euro}\; COST ist positiv.

Da der Erwartungswert positiv ist kaufen wir ein Lotterielos.

\mathrm{Euro}\; fraction(PRIZE,ODDS,true,true) - \mathrm{Euro}\; COST ist negativ.

Da der Erwartungswert negativ ist, werden wir auf lange Sicht Geld verlieren. Wir kaufen daher kein Los.