Übung: Diskriminante
Beschreibe die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:
\large
expr(["+",
["*", A, ["^", "x", 2]],
["*", B, "x"],
C])
= 0- Eine rationale Lösung
- Zwei rationale Lösungen
- Zwei irrationale Lösungen
- Eine komplexe Lösung
- Zwei komplexe Lösungen
Wir können die abc-Formel (Mitternachtsformel) benutzen, um zu sehen was die Lösungen der quadratischen Gleichung ist. Es geht aber auch einfacher...
\qquad
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Wir setzen die Koeffizienten a, b, und c aus der quadratischen Gleichung in die Diskriminante ein:
\qquad\begin{array}
&& b^2-4ac \\ \\
=& B^2 - 4 (
A)(C) \\ \\
=& DISCRIMINANT
\end{array}
Da \blue{b^2 - 4ac} = 0 wird die abc-Formel zu \dfrac{-b}{2a}, was bedeutet, dass nur eine rationale Lösung existiert.
Da \blue{b^2 - 4ac} negativ ist, ist dessen quadrat komplex. Die abc-Formel wird zu \dfrac{-b \pm \sqrt{DISCRIMINANT}}{2a}, was bedeutet, dass die quadratische Gleichung zwei komplexe Lösungen hat.
Da \blue{b^2 - 4ac} eine Quadratzahl ist, ist dessen Quadratwurzel eine rationale Zahl. Die abc-Formel vereinfacht sich zu
\dfrac{-b \pm sqrt(DISCRIMINANT)}{2a}
, daher existieren zwei rationale Lösungen.
Da \blue{b^2 - 4ac} keine Quadratzahl ist, ist dessen Quadratwurzel irrational und die abc-Formel wird zu
\dfrac{-b \pm \sqrt{DISCRIMINANT}}{2a}
, was bedeutet, das die quadratische Gleichung zwei irrationale Lösungen hat.
