Übung: Definitionsbereich einer Funktion
f(x) = \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }
Was ist der Definitionsbereich der reellen Funktion f(x)?
CHOICES["two-denom-simplify"]
c
f(x) ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.
Der Nenner ist 0 wenn x=(-1*A) oder x=B.
Wir wissen, dass x \neq -1*A und x \neq B.
Mathematisch ausgedrückt wäre der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-simplify"].
f(x)= \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) } & \text{IF } x \neq B \\ C & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond"]
c
f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher müssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.
Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.
Der Nenner ist 0 wenn x=-1*A or x=B.
Ausgehend von der ersten Definition der abschnittsweise definierten Funktion wissen wir, dass x \neq -1*A und x \neq B.
Allerdings die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion trifft zu wenn x = B, und die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion, C, hat keine Definitionslücken oder Sprungstellen, sodass f(x) für x = B.
Daher ist die einzige Einschränkung des Definitionsbereichs x \neq -1*A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-cond"].
f(x) = \sqrt{ x - A }
CHOICES.sqrt
c
f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.
Daher muss der Radikand, x - A, größer oder gleich 0 sein.
Daher ist x - A \geq 0; dies bedeutet, dass x \geq A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES.sqrt.
f(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["inverse-sqrt"]
c
Als erstes müssen wir uns den Radikand anschauen (der Term unter dem Wurzelzeichen). f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand weniger als 0 ist.
Daher muss der Radikand, x - A, größer oder gleich 0 sein.
Daher ist x - A \geq 0; dies bedeutet, dass x \geq A.
Als nächstes müssen wir den Bruch von f(x) betrachten. f(x) ist nicht definiert wenn der Nenner, \sqrt{ x - A }, 0 ist.
Daher ist \sqrt{ x - A } \neq 0.
\sqrt{ z } = 0 nur wenn z = 0, daher bedeutet \sqrt{ x - A } \neq 0 dass x - A \neq 0.
Daher ist x \neq A.
Somit ist die Funktion in zwei Fällen nicht definiert: x \geq A und x \neq A.
Zusammen kann man beide Einschränkungen kombinieren und wir erhalten x > A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } } & \text{IF } x \geq A \\ \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } } & \text{IF } x < A \end{cases}
CHOICES["inverse-sqrt-cond"]
c
f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher müssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.
Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist und der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) kleiner als 0 ist.
Der Nenner, \sqrt{ x - A }, ist 0 wenn x - A = 0, daher wissen wir, dass x \neq A.
Der Radikand, x - A, ist kleiner als 0 wenn x < A, daher wissen wir, dass x \geq A.
Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) ist definiert wenn x \neq A und x \geq A. Zusammen kann man beide Einschränkungen kombinieren und wir erhalten die erste Definition, für welche die abschnittsweise definierte Funktion definiert ist: x > A. Der erste Teil der Funktion ist zutreffend wenn x \geq A, daher ist diese Einschränkung des Definitionsbereichs auch relevant.
Die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } }, ist zutreffend wenn x < A und ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist und der Radikand kleiner als 0 ist.
Der Nenner, \sqrt{ A - x }, ist 0 wenn A - x = 0, daher wissen wir, dass x \neq A.
Der Radikand, A - x, ist kleiner als 0 wenn x > A, daher wissen wir, dass x \leq A.
Daher ist die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) definiert wenn x \neq A und x \leq A. Zusammen kann man beide Einschränkungen kombinieren und wir erhalten die zweite Definition, für welche die abschnittsweise definierte Funktion definiert ist: x < A. Allerdings ist die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) nur zutreffend wenn x < A, daher ist die Beschränkung nicht relevant für den Definitionsbereich von f(x).
Damit ist die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion definiert wenn x > A und zutreffend wenn x \geq A; die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion ist definiert wenn x < A und zutreffend wenn x < A. Zusammen genommen bedeutet dies, dass die Funktion nur bei x = A nicht definiert ist. Daher ist die einzige Einschränkung für den Definitionsbereich der Funktion f(x) wenn x \neq A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt-cond"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ A+B - x } }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["sqrt-frac"]
c
f(x) ist nicht definiert wenn eines der beiden Radikale nicht definiert ist, also wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.
Die obere Wurzel ist nicht definiert wenn A+B - x < 0.
Also ist ist obere Wurzel ist nicht definiert wenn x > A+B, daher wissen wir, dass x \leq A+B.
Die untere Wurzel ist nicht definiert wenn x - A < 0.
Also ist die untere Wurzel nicht definiert wenn x < A, daher wissen wir x \geq A.
Zusätzlich müssen wir auch noch beachten, dass f(x) nicht definiert ist wenn der Nenner, \sqrt{ x - A }, 0 null.
Daher ist \sqrt{ x - A } \neq 0, sodass x - A \neq 0, sodass x \neq A.
Wir haben also drei Beschränkungen bezüglich des Definitionsbereichs: x \leq A+B, x \geq A, und x \neq A.
Wir kombinieren die drei Beschränkungen und erhalten A < x \leq A+B.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-frac"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) } & \text{IF } x \neq B \\ A & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond-weird"]
c
f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher müssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.
Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.
Der Nenner, (x + A)(x - C), ist 0 wenn x = -1*A oder x = C.
Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) ist definiert wenn x \neq -1*A und x \neq C. Der erste Teil der abschnittsweise definierte Funktion trifft zu wenn x = -1*A und x = C, sodass die Beschränkungen relevant für den Definitionsbereich von f(x) ist.
Die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), A, ist eine einfache horizontale Gerade und hat daher keine Definitionslücken oder Sprungstellen, daher überall definiert.
Somit ist die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion definiert wenn x \neq -1*A und x \neq C und zutreffend wenn x \neq B; die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion ist immer definiert und zutreffend wenn x = B. Zusammengenommen bedeutet dies, dass die einzigen beiden Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und die Definitionen zutreffend sind bei x = -1*A und x = C sind. Daher sind die Beschränkungen bezüglich des Definitionsbereichs von f(x), dass x \neq -1*A und x \neq C.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-cond-weird"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B }
CHOICES["sqrt-poly-frac"]
c
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B } = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ ( x + A )( x + B ) }
f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.
Daher ist x - C \geq 0, was bedeutet, dass x \geq C.
Als nächstes müssen wir noch schauen ob der Nenner von f(x) an irgendeiner Stelle 0 wird.
Damit ist x \neq -1*A und x \neq -1*B.
Allerdings sind diie beiden letzten Beschränkungen des Definitionsbereichs irrelevant, denn C > -1*A und C > -1*B und daher ist x \geq C und das wird sicherstellen, dass x \neq -1*A und x \neq -1*B.
Zusammengenommen bedeutet dies einfach: x \geq C.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-poly-frac"].
f(x) = \sqrt{ A - \lvert x \rvert }
CHOICES["sqrt-abs"]
c
f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.
Wir wissen, dass A - \lvert x \rvert \geq 0.
Daher ist \lvert x \rvert \leq A.
Dies bedeutet, dass x \leq A und x \geq -1*A; oder, gleichbedeutend, -1*A \leq x \leq A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-abs"].
f(x) = \dfrac{ B }{ \sqrt{ A - \lvert x \rvert } }
CHOICES["inverse-sqrt-abs"]
c
f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.
Wir wissen, dass A - \lvert x \rvert \geq 0.
Dies bedeutet, dass \lvert x \rvert \leq A, und das bedeutet -1*A \leq x \leq A.
Als nächstes müssen wir noch schauen ob der Nenner von f(x) an irgendeiner Stelle 0 wird, da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.
Wir wissen, dass \sqrt{ A - \lvert x \rvert } \neq 0, also ist \lvert x \rvert \neq A.
Dies bedeutet, dass x \neq A und x \neq -1*A.
Somit haben wir vier Einschränkungen bezüglich des Definitionsbereichs: x \geq -1*A, x \leq A, x \neq -1*A, und x \neq A.
Zusammengenommen bedeutet dies, dass x > -1*A und x < A; alternativ ausgedrückt: -1*A < x < A.
Mathematisch ausgedrückt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt-abs"].
