Übung: Definitionsbereich einer Funktion

randRange( 1, 10 ) randRange( 1, 10 ) randRange( 1, 10 ) function() { return "\\{ \\, x \\in \\mathbb{R} \\mid " + Array.prototype.join.call( arguments, ", \\," ) + "\\, \\}"; } function( n, sym ) { return "x " + sym + n; } function( n, m, sym1, sym2 ) { return n + sym1 + " x " + sym2 + m; } function( n ) { return FN( n, "\\neq" ); } function( n ) { return FN( n, "\\geq" ); } function( n ) { return FN( n, "\\leq" ); } function( n ) { return FN( n, ">" ); } function( n ) { return FN( n, "<" ); } function( n, m ) { return FN2( n, m, "<", "\\leq" ); } function( n, m ) { return FN2( n, m, "\\leq", "\\leq" ); } function( n, m ) { return FN2( n, m, "<", "<" ); } { "two-denom-simplify": SET( NEQ( -1*A ), NEQ( B ) ), "two-denom-cond": SET( NEQ( -1*A ) ), "sqrt": SET( GEQ( A ) ), "inverse-sqrt": SET( GE( A ) ), "inverse-sqrt-cond": SET( NEQ( A ) ), "sqrt-frac": SET( LE_LEQ( A, A+B ) ), "two-denom-cond-weird": SET( NEQ( -1*A ), NEQ( C ) ), "sqrt-poly-frac": SET( GEQ( C ) ), "sqrt-abs": SET( LEQ_LEQ( -1*A, A ) ), "inverse-sqrt-abs": SET( LE_LE( -1*A, A ) ) } $._("wenn")

f(x) = \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }

Was ist der Definitionsbereich der reellen Funktion f(x)?

CHOICES["two-denom-simplify"]

  • c

f(x) ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.

Der Nenner ist 0 wenn x=(-1*A) oder x=B.

Wir wissen, dass x \neq -1*A und x \neq B.

Mathematisch ausgedrĂŒckt wĂ€re der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-simplify"].

f(x)= \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) } & \text{IF } x \neq B \\ C & \text{IF } x = B \end{cases}

CHOICES["two-denom-cond"]

  • c

f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher mĂŒssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.

Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.

Der Nenner ist 0 wenn x=-1*A or x=B.

Ausgehend von der ersten Definition der abschnittsweise definierten Funktion wissen wir, dass x \neq -1*A und x \neq B.

Allerdings die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion trifft zu wenn x = B, und die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion, C, hat keine DefinitionslĂŒcken oder Sprungstellen, sodass f(x) fĂŒr x = B.

Daher ist die einzige EinschrÀnkung des Definitionsbereichs x \neq -1*A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-cond"].

f(x) = \sqrt{ x - A }

CHOICES.sqrt

  • c

f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.

Daher muss der Radikand, x - A, grĂ¶ĂŸer oder gleich 0 sein.

Daher ist x - A \geq 0; dies bedeutet, dass x \geq A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES.sqrt.

f(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }

CHOICES["inverse-sqrt"]

  • c

Als erstes mĂŒssen wir uns den Radikand anschauen (der Term unter dem Wurzelzeichen). f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand weniger als 0 ist.

Daher muss der Radikand, x - A, grĂ¶ĂŸer oder gleich 0 sein.

Daher ist x - A \geq 0; dies bedeutet, dass x \geq A.

Als nĂ€chstes mĂŒssen wir den Bruch von f(x) betrachten. f(x) ist nicht definiert wenn der Nenner, \sqrt{ x - A }, 0 ist.

Daher ist \sqrt{ x - A } \neq 0.

\sqrt{ z } = 0 nur wenn z = 0, daher bedeutet \sqrt{ x - A } \neq 0 dass x - A \neq 0.

Daher ist x \neq A.

Somit ist die Funktion in zwei FĂ€llen nicht definiert: x \geq A und x \neq A.

Zusammen kann man beide EinschrÀnkungen kombinieren und wir erhalten x > A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt"].

f(x) = \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } } & \text{IF } x \geq A \\ \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } } & \text{IF } x < A \end{cases}

CHOICES["inverse-sqrt-cond"]

  • c

f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher mĂŒssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.

Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist und der Radikand (Term unter dem Wurzelzeichen) kleiner als 0 ist.

Der Nenner, \sqrt{ x - A }, ist 0 wenn x - A = 0, daher wissen wir, dass x \neq A.

Der Radikand, x - A, ist kleiner als 0 wenn x < A, daher wissen wir, dass x \geq A.

Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) ist definiert wenn x \neq A und x \geq A. Zusammen kann man beide EinschrĂ€nkungen kombinieren und wir erhalten die erste Definition, fĂŒr welche die abschnittsweise definierte Funktion definiert ist: x > A. Der erste Teil der Funktion ist zutreffend wenn x \geq A, daher ist diese EinschrĂ€nkung des Definitionsbereichs auch relevant.

Die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } }, ist zutreffend wenn x < A und ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist und der Radikand kleiner als 0 ist.

Der Nenner, \sqrt{ A - x }, ist 0 wenn A - x = 0, daher wissen wir, dass x \neq A.

Der Radikand, A - x, ist kleiner als 0 wenn x > A, daher wissen wir, dass x \leq A.

Daher ist die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) definiert wenn x \neq A und x \leq A. Zusammen kann man beide EinschrĂ€nkungen kombinieren und wir erhalten die zweite Definition, fĂŒr welche die abschnittsweise definierte Funktion definiert ist: x < A. Allerdings ist die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) nur zutreffend wenn x < A, daher ist die BeschrĂ€nkung nicht relevant fĂŒr den Definitionsbereich von f(x).

Damit ist die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion definiert wenn x > A und zutreffend wenn x \geq A; die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion ist definiert wenn x < A und zutreffend wenn x < A. Zusammen genommen bedeutet dies, dass die Funktion nur bei x = A nicht definiert ist. Daher ist die einzige EinschrĂ€nkung fĂŒr den Definitionsbereich der Funktion f(x) wenn x \neq A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt-cond"].

f(x) = \dfrac{ \sqrt{ A+B - x } }{ \sqrt{ x - A } }

CHOICES["sqrt-frac"]

  • c

f(x) ist nicht definiert wenn eines der beiden Radikale nicht definiert ist, also wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.

Die obere Wurzel ist nicht definiert wenn A+B - x < 0.

Also ist ist obere Wurzel ist nicht definiert wenn x > A+B, daher wissen wir, dass x \leq A+B.

Die untere Wurzel ist nicht definiert wenn x - A < 0.

Also ist die untere Wurzel nicht definiert wenn x < A, daher wissen wir x \geq A.

ZusĂ€tzlich mĂŒssen wir auch noch beachten, dass f(x) nicht definiert ist wenn der Nenner, \sqrt{ x - A }, 0 null.

Daher ist \sqrt{ x - A } \neq 0, sodass x - A \neq 0, sodass x \neq A.

Wir haben also drei BeschrĂ€nkungen bezĂŒglich des Definitionsbereichs: x \leq A+B, x \geq A, und x \neq A.

Wir kombinieren die drei BeschrÀnkungen und erhalten A < x \leq A+B.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-frac"].

f(x) = \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) } & \text{IF } x \neq B \\ A & \text{IF } x = B \end{cases}

CHOICES["two-denom-cond-weird"]

  • c

f(x) ist eine abschnittsweise definierte Funktion, daher mĂŒssen wir untersuchen, wann jeder Abschnitt nicht definiert ist.

Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) }, ist nicht definiert wenn der Nenner 0 ist.

Der Nenner, (x + A)(x - C), ist 0 wenn x = -1*A oder x = C.

Die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x) ist definiert wenn x \neq -1*A und x \neq C. Der erste Teil der abschnittsweise definierte Funktion trifft zu wenn x = -1*A und x = C, sodass die BeschrĂ€nkungen relevant fĂŒr den Definitionsbereich von f(x) ist.

Die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion f(x), A, ist eine einfache horizontale Gerade und hat daher keine DefinitionslĂŒcken oder Sprungstellen, daher ĂŒberall definiert.

Somit ist die erste Definition der abschnittsweise definierten Funktion definiert wenn x \neq -1*A und x \neq C und zutreffend wenn x \neq B; die zweite Definition der abschnittsweise definierten Funktion ist immer definiert und zutreffend wenn x = B. Zusammengenommen bedeutet dies, dass die einzigen beiden Stellen, an denen f(x) nicht definiert ist und die Definitionen zutreffend sind bei x = -1*A und x = C sind. Daher sind die BeschrĂ€nkungen bezĂŒglich des Definitionsbereichs von f(x), dass x \neq -1*A und x \neq C.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["two-denom-cond-weird"].

f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B }

CHOICES["sqrt-poly-frac"]

  • c

f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B } = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ ( x + A )( x + B ) }

f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.

Daher ist x - C \geq 0, was bedeutet, dass x \geq C.

Als nĂ€chstes mĂŒssen wir noch schauen ob der Nenner von f(x) an irgendeiner Stelle 0 wird.

Damit ist x \neq -1*A und x \neq -1*B.

Allerdings sind diie beiden letzten BeschrÀnkungen des Definitionsbereichs irrelevant, denn C > -1*A und C > -1*B und daher ist x \geq C und das wird sicherstellen, dass x \neq -1*A und x \neq -1*B.

Zusammengenommen bedeutet dies einfach: x \geq C.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-poly-frac"].

f(x) = \sqrt{ A - \lvert x \rvert }

CHOICES["sqrt-abs"]

  • c

f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.

Wir wissen, dass A - \lvert x \rvert \geq 0.

Daher ist \lvert x \rvert \leq A.

Dies bedeutet, dass x \leq A und x \geq -1*A; oder, gleichbedeutend, -1*A \leq x \leq A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["sqrt-abs"].

f(x) = \dfrac{ B }{ \sqrt{ A - \lvert x \rvert } }

CHOICES["inverse-sqrt-abs"]

  • c

f(x) ist nicht definiert wenn der Radikand (der Term unter dem Wurzelzeichen) weniger als 0 ist.

Wir wissen, dass A - \lvert x \rvert \geq 0.

Dies bedeutet, dass \lvert x \rvert \leq A, und das bedeutet -1*A \leq x \leq A.

Als nĂ€chstes mĂŒssen wir noch schauen ob der Nenner von f(x) an irgendeiner Stelle 0 wird, da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Wir wissen, dass \sqrt{ A - \lvert x \rvert } \neq 0, also ist \lvert x \rvert \neq A.

Dies bedeutet, dass x \neq A und x \neq -1*A.

Somit haben wir vier EinschrĂ€nkungen bezĂŒglich des Definitionsbereichs: x \geq -1*A, x \leq A, x \neq -1*A, und x \neq A.

Zusammengenommen bedeutet dies, dass x > -1*A und x < A; alternativ ausgedrĂŒckt: -1*A < x < A.

Mathematisch ausgedrĂŒckt ist der Definitionsbereich CHOICES["inverse-sqrt-abs"].