Übung: Binomischer Lehrsatz, Binomialentwicklung
\definecolor{gurured}{RGB}{217,83,79}\newcommand{\red}[1]{\color{gurured}{#1}}\definecolor{gurupink}{RGB}{186,139,175}\newcommand{\pink}[1]{\color{gurupink}{#1}}\definecolor{gurugreen}{RGB}{161,181,108}\newcommand{\green}[1]{\color{gurugreen}{#1}}\definecolor{gurublue}{RGB}{61,143,209}\newcommand{\blue}[1]{\color{gurublue}{#1}}\definecolor{gurupurple}{RGB}{132,100,196}\newcommand{\purple}[1]{\color{gurupurple}{#1}}
Was ist der Koeffizient von TERM_STRING in der Binomialentwicklung von
(expr(["*", TERM1_COEF, "x"]) +
TERM2)^{EXPONENT}?
Statt
(expr(["*", TERM1_COEF, "x"]) +
TERM2)^{EXPONENT}, auszumutiplizieren, können wir den binomischen Lehrsatz verwenden um alle Koeffizienten zu berechnen.
Schreibe alle Terme der Binomialentwicklung aus. Was sind die Binominialkoeffizienten für jeden Term? (Obwohl uns eigentlich nur der Term \pink{TERM_STRING} interessiert.)
\blue{?} \cdot
\pink{
(
expr(["*", TERM1_COEF, "x"])
)
^{ EXPONENT - TERM}
}
TERM2^{TERM}
+
Der binomischer Lehrsatz sagt, dass der Koeffizient des k. Term (k von 0 bis EXPONENT) gleich \blue{\binom{EXPONENT}{k}} ist.
[Was bedeutet das?]
\binom{n}{k} ist der Binominialkoeffizient. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n Objekten auswählen kann ("n über k"). \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
\blue{\binom{EXPONENT}{TERM}}
\pink{
(
expr(["*", TERM1_COEF, "x"])
)
^{ EXPONENT - TERM}
}
TERM2^{TERM}
+
[Wie würde man dies mit dem Pascalschem Dreieck machen?]
Man kann die EXPONENT + 1 Reihe (eine mehr als der Exponent) des Pascalschen Dreiecks verwenden, um die Binominialkoeffizienten zu bestimmen:
Diese Werte können kombinatorischen Terme in dem obigen Polynom ersetzen.
Ausmultiplizieren:
\blue{choose(EXPONENT, TERM)} \cdot
\pink{
(
expr(["*", TERM1_COEF, "x"])
)
^{ EXPONENT - TERM}
}
TERM2^{TERM}
+
Vereinfachen:
\qquad
\pink{
pow(TERM1_COEF, EXPONENT - TERM)
* choose(EXPONENT, TERM) *
pow(TERM2, TERM)
x^{EXPONENT - TERM}
x
}
+
Der Koeffizient von
\pink{TERM_STRING} ist
\pink{SOLUTION}.
